1.2 第2课时 用空间向量解决空间直线位置关系（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中选择性必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

第2课时　用空间向量解决空间直线位置关系 [见学生用书P8] 1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为　(　B　) A．30°　　　 B．60° C．120°　　　 D．150° 【解析】 由题意得a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝－，设两条异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝，θ＝60°.故选B. 2．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则　(　D　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ| 【解析】 α＝θ或α＝π－θ，且α∈，因而cosα＝|cosθ|.故选D. 3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则与的夹角等于(　B　) 　第3题图 A．45° B．60° C．90° D．120° 【解析】 ∵E，F，G，H分别是所在棱的中点， ∴由三角形中位线定理可得FE∥BA1，GH∥BC1， ∵与同向共线，与同向共线， ∴〈，〉＝〈，〉， 在正方体中△A1BC1为等边三角形， ∴〈，〉＝〈，〉＝60°.故选B. 4．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_ __． 第4题图 【解析】 由题意可得， ·＝(＋)·(＋)＝· ＋·＋·＋· ＝||2＝1， ∵||＝＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. 5．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，则异面直线PB与CD所成的角为__60°__． 第5题图 【解析】 由题意知||＝，||＝，＝＋，＝＋＋. ∵PA⊥平面ABCD， ∴·＝·＝·＝0， ∵AB⊥AD，∴·＝0， ∵AB⊥BC，∴·＝0， ∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝1， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴〈，〉＝60°， ∴异面直线PB与CD所成的角为60°. 6．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC所成角的余弦值为　(　A　) 　第6题图 A. B. C. D. 【解析】 ∵·＝8×6×cos60°＝24，·＝8×4×cos 135°＝－16， 设异面直线OA与BC的夹角为θ，则cosθ＝＝ ＝＝.故选A. 7．在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 如答图，设＝a，＝b，AA1＝c，棱长均为1， 　第7题答图 则a·b＝，b·c＝，a·c＝， ∴·＝(a＋c)(b－a＋c)＝－1＋＋－＋1＝1， ∵||＝|a＋c|＝， ||＝|b－a＋c|＝， ∴cos〈，〉＝＝， ∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选C. 8．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是(　D　) A．30° B．45° C．90° D．60° 【解析】 ∵点E，F分别是棱AB，BB1的中点，∴＝－＝(－)，＝＋， ∴·＝(－)(＋)＝||2，设所求异面直线的夹角为θ，则 cosθ＝＝，∴θ＝60°.故选D. 9．已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝4，CD＝2，则异面直线a与b所成的角是(　C　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 由题意可知，cos 〈，〉＝＝(＋＋)·＝(· ＋·＋·)＝(0＋22＋0)＝，即〈，〉＝60°.故选C. 10．已知AB＝4，BC＝2的矩形ABCD，沿对角线BD将△BDC折起，使得平面BCD⊥平面ABD，则异面直线BC与AD所成角的余弦值为____． 【解析】 如答图所示，平面BCD⊥平面ABD，作CE⊥BD，AF⊥BD，E，F分别为垂足， 　第10题答图 则CE⊥平面ABD，AF⊥平面BCD， 由三角形面积公式可得×BD×CE＝×CB×CD， 即×2×CE＝×2×4， 解得CE＝，同理可得AF＝CE＝， 故·＝2×2×cos〈· 〉． 又·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝0＋0＋2＋0＝2－2＝22－()2＝， 故可得cos〈· 〉＝÷2÷2＝， 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为. 11．在正