14.2勾股定理的应用-最短路径问题教案 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

《14.2.1勾股定理的应用 》教学设计 ——立体图形中的最短路径问题 院士育才中学 姜典珂 14.2.1勾股定理的应用 ——立体图形中的最短路径问题 教学目标： 1、让学生通过动手研究能把立体图形中的问题转化为平面上的问题 2、 使学生能够找出并理解立体图形中的最短路线及依据 3、 能够运用勾股定理解決实际问题，将实际问题转化为数学问题，进行数学建模 4、培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神体会逻辑推理的思维价值 教学重、难点 找出并理解立体图形中的最短路线及依据教学过程 第一环节情境引入内容 情景1:多媒体展示 我们经常看见公园里的长方形花圃，有人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草。虽然这是一种不文明的行为，但却蕴含了一个数学原理，你知道是什么吗？ 情景2:导学案问题一: ( A B C C )如图，圆柱体石凳的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径，若小明在吃东西时留下了一点食物在C处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想蚂蚁怎么走最近?（精确到0.01cm）。 第二环节合作探究 (1) 学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线让学生发现:沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法 (2) 得出结论:利用展开图中两点之间，线段最短解决问题.在这个环节中，可让学生沿母剪开圆柱体，具体观察.接下来后提问:怎样计算AC? 注意事项:本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径的不同存在可能.但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条.因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上方法提炼:解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解決这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下 1.审题一一分析实际问题; 2.建模一一建立相应的数学模型; 3.求解一一运用勾股定理计算; 4. 检验一一是否符合实际问题的真实性 第三环节:变式拓展内容 变式练习:主题干不变，改变部分条件，求爬行的最短路线 学生独立思考，抽生讲解 第四环节:小试牛刀 内容:导学案问题二正方体中的最短路径 ( A B )例2：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm) 画图并标示数据 列式： 问题三：长方体中的最短路径 ( A B C D B 1 C 1 D 1 A 1 ) 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路程又是多少呢？ 课堂练习： 1. 某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图），在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A´镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 2. 如图，这是一个共滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看成是长方体去掉一个”半圆柱“而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=5m，一滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为多少m。 学科网（北京）股份有限公司 $$