28.1　锐角三角函数第3课时　特殊角的锐角三角函数值（教案）2023-2024学年人教版数学九年级下册

28.1　锐角三角函数 第3课时　特殊角的锐角三角函数值 教学目标： 1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数. 2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力. 3.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心. 教学重难点： 重点:熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式. 难点:30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程. 教学过程： 导入 问题:在直角三角形中,一个锐角的正弦、余弦、正切是怎么定义的? 讲授新课 知识点1　30°,45°,60°角的三角函数值 合作探究 两块三角尺中有几个不同的锐角?分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 解题过程:设30°角所对的直角边长为a,那么斜边长为2a, 另一条直角边长为=a, 所以sin 30°==. 所以cos 30°==. 所以tan 30°==. 所以sin 60°==. 所以cos 60°==. 所以tan 60°==. 设含45°角的直角三角形两条直角边长为a,则斜边长为=a, 所以sin 45°==. 所以cos 45°==. 所以tan 45°==1. [师生活动] 学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格. [归纳总结] 30°,45°,60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表: 锐角三角函数 锐角A 30° 45° 60° sin A cos A tan A 1 思考:(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化? (2)表格中哪些角的三角函数值是相等的? (3)观察表格中的数据,锐角α的正弦值、余弦值与1之间的大小有何关系? [结论] (1)正弦值、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小; (2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°, 故sin α=cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角. (3)0<sin A<1,0<cos A<1. [设计意图] 学生在教师提出的问题的引导下,完成特殊角的三角函数值的推导,并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力. 范例应用 例1　求下列各式的值: (1)cos260°+sin260°; (2)-tan 45°. 提示:sin260°表示(sin 60°)2,即sin 60°×sin 60°. 解:(1)cos260°+sin260° =()2+()2 =1. (2)-tan 45°=-1=0. 例2　计算: (1)sin 30°-cos 45°; (2)sin260°+cos230°-tan 45°. 解:(1)sin 30°-cos 45°=-=. (2)sin260°+cos230°-tan 45° =()2+()2-1 = . 知识点2　通过三角函数值求角度 (1)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,求∠A的度数; (2)如图所示,AO是圆锥的高,OB是底面圆的半径,AO=OB,求α的度数. 解:(1)sin A= = = , 所以∠A=45°. (2)tan α== =, 所以α=60°. 范例应用 例3　求满足下列条件的锐角α. (1)2sin α-=0; (2)tan α-1=0. 解:(1)sin α=,所以α=60°. (2)tan α=1,所以α=45°. 例4　已知△ABC中的∠A与∠B满足|1-tan A|+(sin B-)2=0,试判断△ABC的形状. 解:因为|1-tan A|+(sin B-)2=0,所以tan A=1,sin B=. 所以∠A=45°,∠B=60°,∠C=180°-45°-60°=75°, 所以△ABC是锐角三角形. 例5　已知α为锐角,且tan A是方程x2+2x-3=0的一个根,求sin2A+2cos2A-3tan (A+15°)的值. 解:解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3. 因为tan A>0,所以tan A=1. 所以∠A=45°. 所以sin2A+2cos2A