28.1　锐角三角函数第2课时　余弦和正切（教案）2023-—2024学年人教版数学九年级下册

28.1　锐角三角函数 第2课时　余弦和正切 教学目标： 1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. 2.通过探究锐角的余弦、正切的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法. 3.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力. 教学重难点： 重点:认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. 难点:类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念. 教学过程： 导入 问题:在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时,其他边之间的比是否也确定了呢? 新课讲授 知识点1　余弦 合作探究 如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则=成立吗?为什么? 我们来试着证明这个问题: 因为∠A=∠D,∠C=∠F=90°, 所以∠B=∠E.所以 = . [归纳] 在直角三角形中,当一个锐角的度数一定时,这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关. [归纳总结] 如图所示,在直角三角形ABC中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A= =. 从上述探究和证明过程看出,对于任意锐角A,有cos A=sin (90°-∠A), 从而有sin A=cos (90°-∠A). 范例应用 例1　如图所示,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是(D) A. B. C. D. 例2　已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5,α为其最小的锐角,求α的正弦值和余弦值. 解:因为直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5,令斜边为7x,则该直角边为5x, 另一直角边为=2x, 因为α为其最小的锐角,所以α所对的直角边长为2x.所以sin α= ,cos α= . 知识点2　正切 合作探究 如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则 =成立吗?为什么? 解:因为∠A=∠D,∠C=∠F=90°, 所以Rt△ABC∽Rt△DEF. 所以 = , 即BC·DF=AC·EF. 所以 = . [归纳] 由此可得,在直角三角形中,当一个锐角的度数一定时,这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关. [归纳总结] 如图所示,在直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A==.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 想一想:如果两个角互余,那么这两个角的正切值有什么关系? 如果两个角互余,那么这两个角的正切值互为倒数. 范例应用 例3　如图所示,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE. [点拨] 根据题意,结合折叠的性质,易得∠AFE=∠BCF,进而在Rt△BFC中,有BC=8,CF=10,由勾股定理易得BF的长,根据三角函数的定义,易得tan∠BCF的值,从而可得tan∠AFE 的值. 解:由折叠的性质可得,CF=CD=10,∠EFC=∠EDC=90°. 因为∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°, 所以∠AFE+∠BFC=90°. 因为∠BCF+∠BFC=90°,所以∠AFE=∠BCF. 在Rt△BFC中,BC=8,CF=10, 由勾股定理,得BF==6.所以tan∠BCF=. 所以tan∠AFE=tan∠BCF=. 知识点3　锐角三角函数 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值. 解:由勾股定理,得AC===8. 所以sin A===,cos A===,tan A===. 范例应用 例4　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13. sin A=　　,cos A=　　,tan A=　　, sin B=　　,cos B=　　,tan B=　　.  课堂训练 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,且sin A=,则下列结论正确的是(D) A.cos A= B.tan A= C.cos A= D.tan A= 2.sin 70°,cos 70°,tan 70°的大小关系是(D) A.tan 70°<cos 70°<sin 70° B.cos 70°<tan 70°<sin 70° C.sin 70°<cos 70°<tan 70° D.cos 70°<sin 70°<tan 70° 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AD=6,CD=8.求tan B的值. 解: