7.3 向量的内积（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（广东专用）

7.3 向量的内积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考试内容： （1） 向量的概念，向量的运算 （2） 轴上向量的坐标及其运算；平面向量的直角坐标运算 （3） 两个向量平行(共线)的条件；两个向量垂直的条件 （4） 中点坐标公式；两点间距离公式 考试要求： (1) 了解向量的概念、向量的长度(模)和单位向量．理解相等向量、负向量、平行(共线)向量的意义 (2) 理解向量的加法与减法运算及其运算法则 (3) 理解数乘向量的运算及其运算法则．理解两个向量平行(共线)的条件． (4) 理解向量的数量积(内积)及其运算法则．理解两个向量垂直的条件 (5) 了解平面向量的坐标的概念，理解平面向量的坐标运算 (6) 掌握中点坐标公式和两点间距离公式 1. 向量内积的概念 (1)两个非零向量夹角的概念 如图所示，已知两个非零向量和，作，，则∠AOB是向量与b的夹角，记作<，>.规定0°≤<，>≤180°. ①当<，>＝0°时，与同向； ②当<，>＝180°时，与反向； ③当<，>＝90°时，⊥. (2)内积的定义 已知两个向量与，它们的夹角为<，>，则向量，的模与向量夹角的余弦值之积称为向量与的内积(或数量积)，记作 . 【注意】　·的结果是一个实数，可以等于正数、负数、零． (3)运算律 ①·＝·(交换律)； ②(·)＝()·＝·()(数乘结合律)； ③(＋)·＝·＋·(分配律). 【注意】　(·)·＝·(·)不成立，并且·＝·也不能推出=. 2. 向量内积的性质 设，均为两个非零向量． (1)当<，>＝0°时，即与同向时，·＝||||. (2)当<，>＝90°时，即⊥，·＝||||cos 90°＝0. (3)当<，>＝180°时，即与反向时，·＝－||||. (4)当＝时，<，>＝0，所以·＝||||＝，即||＝（）. (5)cos <，>＝. 3. 向量内积的坐标运算 (1) 若＝，＝，则 . 特别地： (2) 若＝，则 . 考点一 向量内积的概念 已知. 【答案】15 【解析】 已知向量和的夹角为，且，，则＝________. 若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量与的夹角是， 则． 又因为，所以． 已知向量，，，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 考点二 向量内积的性质 若||＝2，||＝，<，>＝30°，则|＋|＝(　　) A．7 B．8 C．13 D． 【答案】D 【解析】本题考查向量内积的性质 已知||＝2，||＝5，且<，>＝60°，则|－|＝________. 考点三 向量内积的坐标运算 若向量＝(2，1)，＝(1，2)，则·＝________. 【答案】4 【解析】本题考查向量内积的坐标运算，·＝，则·＝2×1＋1×2＝4. 若向量＝(3，8)，＝(－2，y)，且·＝34，则y＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．5 已知向量＝(x，cos15°)，＝(－3，sin15°)，且，则x等于(　　) 【答案】 【解析】 已知向量，且，则x＝________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 向量的内积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考试内容： （1） 向量的概念，向量的运算 （2） 轴上向量的坐标及其运算；平面向量的直角坐标运算 （3） 两个向量平行(共线)的条件；两个向量垂直的条件 （4） 中点坐标公式；两点间距离公式 考试要求： (1) 了解向量的概念、向量的长度(模)和单位向量．理解相等向量、负向量、平行(共线)向量的意义 (2) 理解向量的加法与减法运算及其运算法则 (3) 理解数乘向量的运算及其运算法则．理解两个向量平行(共线)的条件． (4) 理解向量的数量积(内积)及其运算法则．理解两个向量垂直的条件 (5) 了解平面向量的坐标的概念，理解平面向量的坐标运算 (6) 掌握中点坐标公式和两点间距离公式 1. 向量内积的概念 (1)两个非零向量夹角的概念 如图所示，已知两个非零向量和，作，，则∠AOB是向量与b的夹角