28.1　锐角三角函数第1课时　正　弦（教案）2023-2024学年人教版数学九年级下册

28.1　锐角三角函数 第1课时　正　弦 教学目标： 1.探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算. 2.通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力. 3.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣. 教学重难点： 重点:探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算. 难点:引导学生探究发现:在直角三角形中,一个确定的锐角的对边与斜边的比值是不变的. 教学过程： 导入 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房A处沿着山坡AB铺设水管,在山坡上建一座扬水站,对坡面绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度BC达到35 m,需要准备多长的水管? 新课讲授 知识点1　已知直角三角形的边长求正弦值 互动探究 同学们,从上述情境中,你可以找到一个什么数学问题呢?能否结合数学图形把它描述出来? 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB. 解:根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”, 即 = . 可得AB=2BC=70 m. 也就是说,需要准备70 m长的水管. 提问:如果出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?(自主思考) [归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于. 思考:如图所示,在Rt△ABC中,如果∠C=90°,∠A=45°,那么∠A的对边和斜边的比是多少? 解:因为∠A=45°,则AC=BC. 由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=2BC2. 所以AB=BC. 所以 = = . [归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,那么无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于. 思考:当∠A是任意一个确定的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢? 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系.能解释一下吗? 提示:因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α, 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 所以= , = [归纳] 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比是一个固定值. [归纳总结] 如图所示,在Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A, 即sin A= = , 例如,当∠A=30°时,我们有sin A=sin 30°=, 当∠A=45°时,我们有sin A=sin 45°=. 范例应用 例1　如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值. [分析] 求sin A和sin B的值,实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比.先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长. 解:如图(1)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===5. 所以sin A==,sin B= =. 如图(2)所示,在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC===12, 所以sin A= = ,sin B= = . 例2　如图所示,在平面直角坐标系内有一点P(3,4),连接OP,求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值. [点拨] 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值,一般过已知点向x轴或y轴作垂线,构造直角三角形,再结合勾股定理求解. 解:如图所示,过点P作PA⊥x轴,交x轴于点A,则A(3,0). 在△APO中,由勾股定理,得 OP===5. 因此sin∠POA= =. 知识点2　已知锐角的正弦值求直角三角形的边长 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=3,求sin B及Rt△ABC的面积. 解:因为sin A= , 所以 = . 所以AB=3BC=3×3=9. 所以AC===6. 所以sin B= = = . 所以S△ABC=AC·BC=×6×3=9. 范例应用 例3　在△ABC中,∠C=90°,AC=24,sin A=,求这个三角形的周长. [点拨] 已知一边及其邻角的正弦值时,一般需结合方程思想和勾股定理,解决问题. 解:设BC=7x,则AB=25x. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AC===24x, 即24x=24,解得x=1. 故BC=7x=7,AB=25x=25.AC=24. 所以△ABC的周长为AB+BC+AC=25+7+24=56. 课堂训练 1.在直角三角形ABC中,若三边长都扩大2倍,则锐角A的正弦值(B) A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.无法确定 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,若s