专题13 解直角三角形及其应用重难点题型专训（7大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题13 解直角三角形及其应用（7大题型） 【题型目录】 题型一 解直角三角形的相关计算 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 仰角俯角问题 题型五 方位角问题 题型六 坡度坡比问题 题型七 解直角三角形的其他应用 【知识梳理】 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 解直角三角形的相关计算】 1．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，中，，．能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（     ）    A． B． C． D． 2．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·陕西宝鸡·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点E在上，，于点F，若，则 ． 4．（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，四边形中，，点在轴上．    （1）若点坐标，，则四边形的周长为 ； （2）若双曲线过点，交于点，连接．若，，则的值为 ． 5．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市南山区荔香学校校考期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【经典例题二 解非直角三角形】 1．（2022下·九年级单元测试）田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 2．（2021上·浙江温州·九年级校联考期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结，，交于点P，，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（2023上·黑龙江哈尔