5.1.1变化率问题 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及意义 5.1.1 变化率问题 教学目标 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬间变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； 2.体会极限思想； 3.通过函数图象直接理解导数的几何意义。 01 复习导入 情景导入 微积分的发明人：牛顿和莱布尼兹 17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上，凭借他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分 情景导入 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关 1 求物体在任意时刻的速度与加速度 2 求曲线的切线 3 求函数的最大值与最小值 4 求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本工具. 情景导入 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 下面我们就来研究这个问题. 变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率. 02 平均速度、瞬时速度 新知探究 跳水运动员的速度 探究1：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？ 新知探究 运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态。 计算：在这段时间里，； 在这段时间里，. 一般地，在这段时间里， 新知探究 再次计算：运动员在这段时间里的平均速度 思考1：(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? 在这段时间里， (1)显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. (2)所以用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 新知探究 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬间速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 思考2： 瞬时速度与平均速度有什么关系? 如何能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗? 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 新知探究 为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量（≠0） ①当时，在区间内； ②当时，在区间内 Δt < 0 Δt > 0 -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 新知探究 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. 新知探究 思考3：观察上表，当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－7 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度. 在数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 新知探究 (1)瞬时速度：物体在_________的速度称为瞬时速度.(2)瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为______________________. 某一时刻 瞬时速度 新知探究 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 无限逼近 取极限 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 新知探究 (1)求物体运动路程与时间的关系s＝s(t)； (2)求时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 求瞬时速度的步骤 (3)求平均速度 (4)求瞬时速度 新知探究 例1.已知某质点按规律s(t)＝2t2＋2t做直线运动(路程s的单位为m，时间t的单位为s)，求：(1)该质点在前3 s内运动的平均速度；