1.5.1 全称量词与存在量词（Word）-【全效作业本】2022-2023学年高中必修第一册数学同步课件及教参（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1．下列命题是全称量词命题的是(　A　) A．任何圆都有内接四边形 B. > C．存在0＜x＜1，使2x－＝0 D．有一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形是直角三角形 2．下列命题是存在量词命题的是(　D　) A．对任意x∈R，x3＞0 B．正方体都是长方体 C．平面内不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 3．下列全称量词命题中，真命题的个数是(　C　) ①末位是0或8的整数，可以被2整除； ②钝角都相等； ③三棱锥的底面是三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 ①正确；120°和150°都是钝角，但不相等，②错误；三棱锥四个面都是三角形，③正确．综上，真命题的个数是2.故选C. 4．用符号“∀”或“∃”表示命题“所有实数的5次方都小于或等于0”：__∀x∈R，x5≤0__． 5．若∀x∈R，不等式x2－x＞x－a恒成立，则实数a的取值范围是__a＞1__． 【解析】 ∀x∈R，不等式x2－x＞x－a恒成立，即不等式x2－2x＋a＞0恒成立， 则Δ＝4－4a＜0，解得a＞1. 6．若命题p：“∃x∈R，x2＋ax＋1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是(　B　) A．－2≤a≤2 B．a≥2，或a≤－2 C．－2＜a＜2 D．a＞2，或a＜－2 【解析】 由题意，得Δ＝a2－4≥0，解得a≥2，或a≤－2.故选B. 7．给出下列命题： ①∃x∈R，x3<1；②∃x∈Q，x2＝2； ③∀x∈N，x3>x2；④∀x∈R，x2＋1>0. 其中真命题是(　A　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【解析】 当x＝ 时，x3＝<1，①是真命题； 若x2＝2，则x＝±∉Q，②是假命题； 当x＝0时，x3＝x2＝0，③是假命题； ∀x∈R，x2≥0，则x2＋1≥1＞0，④是真命题． 综上，①④是真命题．故选A. 8．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0.若p是假命题，则实数a的取值范围是(　D　) A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【解析】 ∵p是假命题，∴当x>0时，方程x＋a－1＝0无正实根， 即x＝1－a≤0，解得a≥1.故选D. 9．已知命题p：对任意0≤x≤2，a＞x，命题q：存在0≤x≤2，使b＞x.若p和q都是真命题，则实数a，b的取值范围分别是(　C　) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＞2 C．a＞2，b＞0 D．a＞2，b＞2 【解析】 ∵对任意0≤x≤2，a＞x，∴a＞2. ∵存在0≤x≤2，使b＞x，∴b＞0， ∴实数a，b的取值范围分别是a＞2，b＞0.故选C. 10．下列命题是全称量词命题，且为真命题的是__②__(填序号)． ①每个二次函数的图象都开口向上； ②对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b； ③至少有一个正整数n，使得n2－n是奇数； ④存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6＜0成立． 【解析】 当二次函数的二次项系数小于0时，二次函数的图象开口向下．①是全称量词命题，是假命题，不合题意； ∵c≤0，∴b＋c≤b.∵a≤b＋c，∴a≤b.②是全称量词命题，是真命题，符合题意； ③④是存在量词命题，不合题意． 综上，②符合题意． 11．已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋<0”是假命题，则实数a的取值范围是__0≤a≤4__． 【解析】 ∵“∃x∈R，4x2＋x＋<0”是假命题， ∴Δ＝2－4×4×≤0，解得0≤a≤4. 12．已知命题p：∀x＞0，a≤x＋ 恒成立，则实数a的取值范围是__a≤2__． 【解析】 ∵∀x＞0，x＋＝2＋2≥2，∴min＝2. 又∵∀x＞0，a≤x＋恒成立，∴a≤2. 13．已知命题p：对任意0≤x≤4，－x2＋2x＋a≤0，命题q：存在x∈R，－3x2－2ax－12＞0.若p和q都是真命题，求实数a的取值范围． 解：p：令y＝－x2＋2x＋a，0≤x≤4，则y＝－(x－1)2＋a＋1≤0， ∴ymax＝a＋1≤0，解得a≤－1. q：由题意，得Δ＝(－2a)2－4×(－3)×(－12)＞0，即4a2－144＞0， 解得a＜－6，或a＞6. 又∵p和q都是真命题，∴a＜－6. 14．若对于一切不为零的实数x，都有|x|>ax，求实数a的取值范围． 解：若x>0，由|x|>ax，得a<＝＝1； 若x<0，由|x|>ax，得a>＝＝－1. 综上，实数a的取值范围是－1<a<1. 15．若对任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则实数a的取值范围是__a≥2__． 【解析】 ∵对任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立， ∴(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0在R上恒成立． ①当a＋2＝0