5.1.1变化率问题课件（1）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑. 牛顿（Isaac Newton，1643年－ 1727年），英国物理学家、数学家. 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家. 导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具. 微积分主要与四类问题的处理相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度； 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 5.1 导数的概念及其意义 ——第一课时 在必修第一册中，我们知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多. 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？ 新课导入 问题1 高台跳水运动员的速度 新课讲授 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系 如何描述运动员从起跳到如水的过程中运动的快慢程度呢？ 问题1 高台跳水运动员的速度 把整个运动时间段分成许多小段 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态 = = 一般地， = = 问题1 高台跳水运动员的速度 （1）运动员在这段时间里是静止的吗? （2）平均速度能准确反映运动员的运动状态吗? 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态. 问题1 高台跳水运动员的速度 计算： 思考： 0 （1）瞬时速度与平均速度有什么关系？ （2）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？ 瞬时速度：物体在某一时刻的速度 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 问题1 高台跳水运动员的速度 思考： 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0 问题1 高台跳水运动员的速度 当Δt<0时，在时间段[1+Δt，1]内 当Δt<0时，在时间段[1+Δt，1]内 Δt Δt -0.01 0.01 -0.001 0.001 -0.0001 0.0001 -0.00001 0.00001 -0.000001 0.000001 ...... ...... -4.951 -4.9951 -4.99951 -4.999951 -4.9999951 -5.049 -5.0049 -5.00049 -5.000049 -5.0000049 问题1 高台跳水运动员的速度 当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 无限趋近于-5 思考： 问题1 高台跳水运动员的速度 小结 平均速度与瞬时速度 1.平均速度 时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 2.瞬时速度 当t=t0时的瞬时速度 例：（1）求运动员在t=2 s 时的瞬时速度 （2）求运动员在t=0.5 s 时的瞬时速度 （3）求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 t0 的瞬时速度？ 问题1 高台跳水运动员的速度 练习（书本P61练习2）火箭发射 t s 后，其高度（单位：m）为.求 （1）在1≤ t ≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度. 例题巩固 解: (1) 解: (2) 1.本节课收获了哪些知识？ 2.在获得知识的过程中用到了哪些思想、方法？ 平均速度 瞬时速度 特殊到一般、极限思想 课堂小结 思考 一般地，对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率怎么表示？ 你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率