期末综合复习讲义常见的最值问题2023-2024学年北师大版八年级上册数学

常见的最值模型 1、 【考点聚焦】 【问题1】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 连AB，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 【问题2】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 【问题3】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． 【问题4】 作法 图形 原理 在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． 两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理 直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小． 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M． 两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇B+MN． 【问题6】 作法 图形 原理 在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小． 将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M． 两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇＇B+MN． 【问题7】 作法 图形 原理 在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小． 作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A． 点到直线，垂线段最短． PA+AB的最小值为线段P＇B的长． 【问题8】 作法 图形 原理 A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N． 两点之间线段最短． AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． 【问题9】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最小． 连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P． 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． ＝0． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最大． 作直线AB，与直线l的交点即为P． 三角形任意两边之差小于第三边．≤AB． 的最大值＝AB． 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l上求一点P，使的值最大． 作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P． 三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇． 最大值＝AB＇． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小． 所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求． 两点之间线段最短． PA+PB+PC最小值＝CD． 2、 【典例分析】 将军饮马： 1.如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是___________． 2.如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为　　 A． B．， C．， D． 3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 4.如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________． 5.如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________． 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为　　 A．3 B．4