4.2.3异面直线所成的角课件-2022-2023学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

4.2.3　异面直线所成的角 第四章　立体几何 空间两条直线的位置关系： ？ 位置关系 图形 所成的角 平行 相交 异面 2、异面直线的画法：平面衬托法 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角。 一、定义 m n n′ m n m′ m′ o m与n所成角的大小与点O的位置有关吗？ 异面直线所成角的范围是什么？ 两条直线垂直，它们一定相交吗？ O 思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O位置的不同而改变？ 点O可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等 动脑思考　探索新知 如果两条异面直线所成的角是90°,那么就说两条直线互相垂直. 即a⊥b. 补：垂直包含相交垂直+异面垂直 与点O的位置选取无关，只与两条异面直线自身有关 二、例题 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAB1=30°求下列异面直线所成角的度数。 （1）AB1与CD （2）AB1与CC1 A B C D A1 B1 C1 D1 解(1) ∵DC∥AB, ∴∠BAB1为异面直线 AB1与CD所成的角， 即所求角为30°。 1.平移 2.说明 3.解答 例： A B C D B1 A1 C1 D1 所以B A1和 CC1所成的角为450 三、练习 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求下列各对异面直线所成的角的度数。 A B C D A1 B1 C1 D1 （1）DD1与BC （2）AA1与 BC1 （3）AC与 BC1 90° 45° 60° 例1：在正方体ABCD-EFGH中AE=2 （1）求EB与HF所成的角 （2）求AG与BD所成的角 A B G F H E D C 练习：如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。 A B C D A B C D 1 1 1 1 E F G 观察右图可以发现,正方体中与异面直线 AB、DD1都垂直的棱有AD、A1D1、B1C1、BC,其中只有AD与异面直线 AB 和DD1同时垂直且相交. 探索新知   像这样,与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线有且只有一条.    两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分,称为这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度称为两条异面直线的距离. 例3 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,C1C=1,求异面直线A1B1与BC之间的距离. 解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1的 六个面都是矩形,所以 B1B⊥A1B1 , B1B⊥BC. 又 B1B∩A1B1=B1, B1B ∩ BC=B， 所以线段B1B是异面直线A1B1与BC的公垂线段. 因为B1B=C1C=1,所以A1B1与BC之间的距离等于1. 变式一： （07福建卷）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ） A.45° B.60° C.90° D.120° A B C D A B C D 1 1 1 1 E G F H 解：连接A1B，BC1，A1C1 ∵A1B // EF，BC1 // GH ∴∠A1B C1为EF1与GH所成的角 在三角形A1BC1中，A1B= BC1= A1C1 ∴∠A1B C1=60° ∴异面直线EF与GH所成的角等于60° 变式2：（05福建卷）如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1 = AB = 2，AD = 1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是__________。 A B C D A B C D 1 1 1 1 E F G 练习 3.在图中,分别给出异面直线m与n所成的角的一种画法. 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1 各棱所在的直线中,分别指出与直线AA1平行、相交、异面的直线. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,直线BC与CD1所成的角的大小是 ；直线A1D1与BD所成的角的大小是 ；直线AD1与BC所成的角的大小是 . 6.已知正方体