27.2.5 相似三角形应用举例 课件 2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.5 相似三角形应用举例 九年级下 人教版 学习目标 新课引入 新知学习 课堂小结 1 2 3 4 1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 学习目标 重点 难点 金字塔 亚马逊河 在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量金字塔的高度和河流的宽度吗？ 新课引入 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 新知学习 例1 如图，木杆 EF 长 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA 为 201m，求金字塔的高度 BO. 解：∵太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽ △DEF. ∴ ， = 134 (m). ∴ 因此金字塔的高度为 134m. 归纳 表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 思考 还可以有其他测量方法吗？ A F E B O ┐ ┐ OB EF = OA AF △ABO∽△AEF OB = OA · EF AF 平面镜 C 入射光线 反射光线 ∠EAC=∠BAC ∠EAF=∠BAO ∠EAF=∠EAO 入射角=反射角 测高方法二： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. “在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度 表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距 针对训练 1. 在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一栋楼的影长为 90m，这栋楼的高度是多少？ 解：设这栋楼的高度是 x m． 由题意得 解得 x = 54. 因此这栋楼的高度是 54m. 2. 如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚底下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时 ∠LMK 等于∠SMT 吗？如果王青身高 1.55m，她估计自己眼睛离地面 1.50m，同时量得 LM = 30cm，MS = 2m，这栋大楼有多高？ 解：根据题意， ∵∠KLM =∠TSM = 90°，∠KML =∠TMS ， ∴△KLM ∽△TSM， ∴ 即 ∴TS = 10 ( m ) 所以这栋大楼高为 10m． 入射角等于反射角 二 利用相似三角形测量宽度 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45m， ST = 90m，QR = 60m，请根据这些数据，计算 河宽 PQ. P R Q S b T a PQ × 90 = (PQ + 45) × 60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90m. P R Q S b T a ∴ ， 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P =∠P， ∴△PQR∽△PST. 即 ， 45m 90m 60m 思考 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD = 80m，DC = 30m，EC = 24m，求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 30 m 24 m 80 m 解：∵ ∠ADB = ∠EDC， ∠ABC = ∠ECD = 90°， ∴ △ABD ∽ △ECD.   ∴ ，即 ， 解得 AB = 64. 因此，两岸间的大致距离为 64m. E A D C B 30 m 24 m 80 m 归纳 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 针对训练 1.如图，测得B