4.4 数学归纳法（6大题型）精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； 难点：了解数学归纳法的原理。 一、数学归纳法的定义和关键点 1、定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立. 在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 2、三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 二、归纳——猜想——证明”的一般环节： 1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； 2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； 3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 1、明确初始值并验证真假（必不可少）； 2、“假设时命题正确”并写出命题形式； 3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。 题型一 对数学归纳法的理解 【例1】（2023·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·北京海淀·高二人大附中校考期中）用数学归纳法证明“对任意偶数，能被整除时，其第二步论证应该是（ ） A．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 B．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 C．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 D．假设（为正整数）时命题成立，再证时命题也成立 【变式1-2】（2023·全国·高三对口高考）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【变式1-3】（2023·高二课时练习）（多选）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ） A．p(k)对k＝528成立 B．p(k)对每一个自然数k都成立 C．p(k)对每一个正偶数k都成立 D．p(k)对某些偶数可能不成立 题型二 数学归纳法的增项问题 【例2】（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·四川成都·高二五中学校考阶段练习）用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·辽宁大连·高二校联考期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 题型三 用数学归纳法证明恒等式 【例3】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式3-1】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式3-2】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 【变式3-3】（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明以下恒等式： （1）； （2）. 题型四 用数学归纳法证明不等式 【例4】（2023·全国