第2章 有理数 期中复习专题突破之知识梳理 2023—2024学年华东师大版数学七年级上册

华东师大版数学 七年级上册 第2章 有理数 知识梳理 一、有理数 1.有理数的概念：整数和分数统称为有理数。（任何一个整数和分数都是有理数。） 2.有理数的分类： ( 正整数 正分数 正有理数 零 负有理数 负整数 负分数 ) ( 整数 分数 零 正整数 负整 数 正分数 负分数 ) ①有理数 ②有理数 （按定义分类） （按性质分类） 3.正数和负数意义： （1）正数：大于零的数是正数。负数：比零小的数。零既不是正数也不是负数。 注：①用正数和负数表是相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的。习惯上把“零上、前进、海平面以上、收入、向东”等规定为正，把“零下、后退、海平面以下、支出、向西”等规定为负。②字母a可以表示任意数，当a表示正数时，－a是负数；当a表示负数时，－a是正数；当a表示零时，－a仍是0.③“+”号可以省略，“-”不可以省略。 强调：带正号（“+”）的数不一定是正数，带负号(“-”)不一定是负数。 4.数轴： （1）数轴概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 ( 1 ) ( 0 ) ( — 1 ) 注：①数轴时是一条向两端无限延伸的直线。 ②数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。（三者缺一不可。） ③同一数轴上的单位长度要统一。 ④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 （2）数轴上的点与有理数的关系： ①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ②所有的有理数都可以用数轴上的点来表示。 注：最小的自然数是0，无最大的自然数。 最小的正整数是1，无最大的正整数。 最大的负整数是-1，无最小的负整数。 5.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数称互为相反数，0的相反数是0。（数a的相反数是-a；） （2）几何定义：在数轴上分别在原点左右两侧且到原点的距离相等的点对应的两个数互为相反数。 （3）互为相反数的两数和为零。即a、b互为相反数，则a+b=0(或有a=-b或b=-a.) （4）求一个数的相反数：只要在它的前面添上“-”号即可。（如5的相反数是-5; a的相反数是-a; a+b的相反数是 -(a+b)。） 注：多重符号化简规律，“+”号个数不影响化简的结果，可以直接省略。“-”号的个数决定最后化简结果，即“-”号的个数是奇数时，结果为负，“-”号的个数是偶数个时，结果为正。 6.绝对值 （1）绝对值的几何意义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜； （2）求绝对值： ①正数的绝对值是它本身； 用字母表示：如果a>0,那么 ｜a｜=a; ②0的绝对值是0； 用字母表示：如果a=0,那么 ｜a｜=0 ③负数的绝对值是它的相反数.用字母表示：如果a﹤0,那么 ｜a｜=-a; 可归纳为：①a≥0 ⇔｜a｜=a（非负数的绝对值等于它本身；绝对值等于本身的数是非负数.）②a≤0 ⇔ ｜a｜=a（非正数的绝对值等于它的相反数；绝对值等于它的相反数的数是非正数.） ( 归纳为 wei ) a (a﹥0) a (a≥0) ｜a｜＝ 0 ( a＝0) ｜a｜= -a(a﹤0) ｜a｜=-a(a﹤0) （3）若几个数的绝对值的和等于零，则这几个数就同时为零.即｜a｜+｜b｜+｜c｜+…=0,则a=0且b=0且c=0…（如｜x-1｜+｜m-2｜+(n+1)2=0,则x-1=0且 m-2=0且 n+1=0.） 注非负数的常用性质：若几个非负数的和为零，则有且只有这几个非负数同时为零. 7.倒数 (1)乘积是1的两个数互为倒数；0没有倒数.（若a、b互为倒数，则ab=1） (2)求倒数： ①求分数的倒数：真分数或假分数的倒数只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可，带分数的倒数先把带分数化为假分数再求倒数即可。 ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 ③倒数是它本身的数是-1或1. 8.有理数大小的比较： 利用数轴表示有理数的大小： 1 利用数轴表示两个有理数的大小：在数轴上的数，右边的数总比左边的数大。 2 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。 3 利用绝对值比较两个有理数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数. 4 差比法比较大小：a-b>0,则a>b;a-b=0则a=b;a-b<0,则a<b. 5 商比法比较大小：ab>1,则a>b; ab=1,则a=b; ab<1,则a<b. 二、有理