第十七章 勾股定理 单元复习 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

章末复习 R·八年级数学下册 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形边长的数量关系 直角三角形的判定 互逆定理 知识框图 复习回顾 回顾思考： 1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系? 2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法? 3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形? 你作判断的依据是什么? 4.证明勾股定理的逆定理运用了什么方法? 5.一个命题成立，它的逆命题未必成立. 请举例说明. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. A C B b a c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 勾股定理 例1 在Rt△ABC中，已知两直角边分别是5和12，则第三边长度为______. 例2 若直角三角形的两边的长分别为 和2，则该直角三角形第三边长为________. 13 1或 ①已知两边，求第三边 典型例题 例3 直接求出下图中x、y和z的值. 2 x y 1 4 z 90° 90° 90° 45° 30° 60° 2 2 2 ②已知一边及一个特殊角 典型例题 例4 如图，在Rt△ABC中，已知AB长度为6，BC-AC=2，求AC的长度. B A C 解：设AC的长度为x，则BC的长度为(x+2). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： 62+x2=(x+2)2 解得 x=8 即AC的长度为8. ③已知一边及另外两边的数量关系 6 x+2 x 典型例题 勾股定理的证明 赵爽弦图 S大正方形=c2 =(b-a)2+4× ab 化简结果，得c2=a2+b2. 数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想 毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法 重新组合 S左=a2+b2+4× ab S右=c2+4× ab ∵S左=S右 ∴a2+b2=c2 加菲尔德：梯形面积法 题设：Rt△ABC≌Rt△CDE 易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形 S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2 化简得：a2+b2=c2 达芬奇证明方法： 思考：如何判定一个三角形是直角三角形呢？ 1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形. 2.两个内角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B b a c 勾股定理的逆定理 几何语言：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 例5 试判断下列边长组成的三角形是否为直角三角形： （1）a=2，b=3，c=4； （2）a=6，b=8，c=10； （3）a=5，b=13，c=17. 22+32≠42，不是直角三角形. 62+82=102，是直角三角形. 52+132≠172，不是直角三角形. 像这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数. 典型例题 例6 如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°﹒求阴影部分的面积. 又∵AC2+AD2=52+122=169=132， ∴AC2+AD2=CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∠CAD=90°. S阴影=S△CAD-S△ABC = AC·AD- AB·BC =24 解：如图，连接AC. ∠B=90°，AB=3，BC=4，由勾股定理得： AC= =5. 典型例题 勾股定理 题设：一个三角形是直角三角形. 结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方. (a2+b2=c2) 勾股定理 的逆定理 题设：一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2. 结论：这个三角形是直角三角形. 若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫做互逆命题. 互逆命题 题设：一个三角形是直角三角形. 结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方. (a2+b2=c2) 题设：一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2. 结论：这个三角形是直角三角形. 如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 思考：一个命题成立，它的逆命题一定成立吗？请举例说明. 原命题：如果两个角是直角，那么它们相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 该逆命题不成立. 例7 下列命题中，逆命题仍然成立的是( ). A.全等三角形的面积相等 B.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C.同一个角的余角相等 D.等腰三