专题01 有理数及其运算-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

专题01 有理数及其运算 思维导图 核心考点聚焦 1.正负数，相反意义的量. 2.求一个数的相反数，绝对值，倒数. 3.科学记数法表示大于1的数. 4.有理数的混合运算. 5.用数轴上的点表示有理数. 6.有理数运算的实际应用. 7.根据点在数轴上的位置判断式子的正负. 8.借着数轴化简绝对值. 9.绝对值非负性的应用. 10.分类讨论化简绝对值. 11.数轴上的动点问题中的追及问题. 12.数轴上的动点问题中的最值问题. 一、有理数 1．正数和负数的概念 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 2．具有相反意义的量 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 3．有理数的概念 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数． 4．有理数的分类 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 二、数轴 1．数轴的概念与画法 数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 2．数轴上的点与有理数之间的关系 ①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 三、相反数 1．相反数的概念及表示方法 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是零．特别地，一个数的相反数等于它本身，这个数是零. 2．相反数的性质 若a与b互为相反数，那么a+b=0. 3．多重符号的化简 与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正． 4．相反数的几何意义 从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． 四、绝对值 1．绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作. 2．绝对值的性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．绝对值的非负性 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 五、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法． 2.法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点：交换加数的位置时，不要忘记符号． 六、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？减法是加法的逆运算． 要点：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字（即数的绝对值）． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 要点： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数．如： 七、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 八、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 要点：（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-