专题探究一 数列的通项公式 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 人教A版 选择性必修第二册 专题一 求数列的通项公式 思维导图 l 形如：an+1-an=f (n) 形如：=f (n) 01 作差法------an与Sn的关系 新知探究 探究一：利用数列的前n项和Sn和an的关系求数列{an}的通项公式. 常见类型： ①知Sn求an(两段式)； ②由Sn的递推式求Sn，再求an ③条件迭代相减得an的递推式，再求an 新知探究 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足Sn =n2+2n－1, 求{an}的通项公式. 解：①n≥2时， an=Sn－Sn-1 =n2+2n－1－（n－1）2－2（n－1）+1 =2n－1 ②n＝1时，a1=S1=2≠2×1-1，∴不符合上式。 注意：a1不符合an（n≥2），则通项公式需要分段写 ∴数列{an}的通项公式为 步骤一：当n≥2时，Sn－Sn-1 ； 步骤二：检验n=1时，是否符合上式 新知探究 变式：已知数列{an}的前n项和Sn =n2+n, 求数列{an}的通项公式. 解：①n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n－（n－1）2－（n－1）=2n ②n＝1时，a1=S1=2=2×1-1，∴符合上式。 注意：a1符合an（n≥2），则通项公式不需要分段写 ∴数列{an}的通项公式为 新知探究 新知探究 新知探究 练习：已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于( ). A. B. C. D. A 解：因为 ， 当 时， ，两式相减可得 ， 即 ，整理得 ，所以 . 因为 ，所以 ， 所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列，则 ，故选A. 新知探究 方法总结 已知 或 的解题步骤 第一步：利用 满足条件 ，写出当 时， 的表达式. 第二步：利用 ，求出 或者转化为 的递推公式的形式. 第三步：若求出当 时的 的通项公式，则根据 求出 ，并代入当 时的 的通项公式进行验证，若成立，则合并，若不成立，则写出分段形式. 新知探究 例3.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n2，求数列{an}的通项公式． 新知探究 解：an+1=Sn Sn +1，∴Sn +1﹣Sn =Sn Sn +1，两边同时除以Sn Sn +1得 练习：已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=﹣1，an+1=Sn Sn +1，则求Sn ∴数列{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列 02 累加法------an+1-an=f (n) 新知探究 探究二 形如an+1-an=f (n)，累加法求数列{an} ①n≥2时，an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an-1）=… ②n=1时，验证a1是否符合上式。 ③给出结论 新知探究 例1.已知数列 满足 ， ，则 ________； 解：由条件知 ， 则当 时， ， 即 ， 又 ，符合上式 . 裂项相消 新知探究 03 累乘法------ =f (n) 新知探究 探究二 形如 =f (n)，累加法求数列{an} ①n≥2时，an=a1×=… ②n=1时，验证a1是否符合上式。 ③给出结论 新知探究 新知探究 练习：设数列 满足 ， ，则其通项公式 _ ________. 解：由 ，得 ， 所以 . 又 适合上式，故 . 04 课堂小结 课堂小结 形如：an+1-an=f (n) 形如：=f (n) 例2.已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋1＝2eq \r(Sn)＋1. 求数列{an}的通项公式． 方法一：由an＋1＝2eq \r(Sn)＋1，得Sn＋1－Sn＝2eq \r(Sn)＋1，故Sn＋1＝(eq \r(Sn)＋1)2. ∵an>0，∴Sn>0，∴eq \r(Sn＋1)＝eq \r(Sn)＋1，即eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝1，则eq \r(Sn)－eq \r(Sn－1)＝1(n≥2)， ∴数列{eq \r(Sn)}是首项为1，公差为1的等差数列 ∴eq \r(Sn)=n∴Sn＝n2. ①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ②当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝2n－1. 方法二：由an＋1＝2eq \r(Sn)＋1，得(an＋1－1)2＝4Sn， 当n≥2时，(an－1)2＝4Sn－1， ∴(an＋1－1)2－(an－1)2＝4(Sn－Sn－1)＝4an. ∴an＋12－an2－2an＋1－2an＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an