第4章 实数（知识清单+典型例题）【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（苏科版）

第4章 实数（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、平方根 1.算术平方根 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ,读作“根号a”,a叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 2.平方根 (1)平方根的相关概念 一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为2是4的平方根. (2)平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数. 0的平方根是0. 负数没有平方根， (3)平方根的表示方法 正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根,可以用，符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“”表示,读作“正、负根号a”".如 =5. 3.开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方,其中数a叫做被开方数. 平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系. 如4的平方为(4)2=16,反过来16的平方根为=4. 4.平方根的估算 要估算“ (a≥0)”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围,如.22<7<32,所以2< <3;第二步以较小整数为基础,开始逐步加0.1(或以较大整数为基础,开始逐步减0.1),并求其平方，确定被估算数的十分位;;如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法” 【例1】（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·海南·八年级校考期中）的平方根是（   ） A．3 B． C． D．9 【变式2】（2023上·湖南·八年级专题练习）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（ ） A．1 B．2 C．9 D．4 【变式3】已知与是的平方根，则的值 ． 二、立方根 1立方根和开立方 (1)一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根. (2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方互为逆运算，可以通过这种关系求一个数的立方根. 2立方根的表示方法 一个数a的立方根,用符号“”表示,读作“三次根号a”",其中a是被开方数,3是根指数.如表示8的立方根, =2;表示-8的立方根, =-2,中的根指数3不能省略， 3立方根的性质 (1)正数的立方根是正数. (2)负数的立方根是负数. (3)0的立方根是0. 4平方根与立方根的联系与区别 (1)联系 都与相应的乘方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算. 0的平方根和立方根都是它本身. (2)区别 在用符号表示平方根时,根指数2可以省略不写;而用符号表示立方根时,根指数3不能省略. 平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有. 正数的平方根有两个,而正数的立方根只有1个. 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数.如:-8和8互为相反数,它们的立方根-2和2也互为相反数.即=--. 【例2】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023上·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．已知某单位员工的月平均工资是元，则一定有一名员工的月工资是元 B．长度为的三根木棒可以围成一个直角三角形 C．立方根等于本身的数只有1和0 D．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为2 【变式2】（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）已的立方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【变式3】（2023上·福建泉州·八年级校联考期中）已知的算术平方根为，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 三、实数 1无理数 (1)无理数的概念 无限不循环小数叫做无理数.如 , , ,0.808 008 000 8...都是无理数. (2)常见的无理数 所有开方开不尽的方根,如. 化简后含有π的数,如- 无限不循环小数，如0.320 030 250... 2.实数的定义:有理数和无理数统称为实数. 3实数与数轴上的点的对应关系 我们知道，任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是数轴，上的点并不都表示有理数,而有理数和无理数合在一起,才.能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之，数轴上的每一个点都表示一个实数. 4. 实数的运算 5. (1)实数的运算 6. 当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 7. (2)实数运算的顺序 8.