第十一章三角形中的模型课件2023-2024学年 人教版八年级数学上册

三角形中的模型 三角表 几条应知应会的重点 1、三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和 2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 3、三角形中三线： a、中线：三条中线交于一点，交点是三角形重心； b、垂线：三条垂线交于一点，交点是三角形垂心； c、角平分线：三条角平分线交于一点，交点是三角形内心； 多边形 多边形内角和：180°(n-2) 多边形对角线条数： a、一个顶点出发的：(n-3)条 b、所有顶点出发的：条 多边形外角和：360° 对角线概念：不相邻两个顶点之间的连线。 正多边形的镶嵌：360°能够被正多边形的一个内角整除，就说明能够镶嵌。一般可以镶嵌的为正三角形，正方形，正六边形。 三角形 （8字模型） 结论 如下图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC 则：∠A+∠D=∠B+∠C 证明：∵∠COD是△AOD、BOC的外角 ∴∠COD=∠A+∠D=∠B+∠C 另外，因为∠A+∠D=∠B+∠C，当其中一组角(如：∠A=∠B)，则∠D=∠C，这个方法经常用来证角相等。 针对训练 1、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数 解析：由8字模型可得：∠B+∠E=∠1+∠2 在△ACD中，∠A+∠C+∠1+∠2 +∠D=180° 再利用∠B+∠E=∠1+∠2 有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 针对训练 2、如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？ 解：∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵∠D+∠1=∠F+∠3 ∠B+∠4=∠F+∠2(8字模型) ∴∠B+∠D+∠1+∠4=2∠F+∠3+∠2 ∴∠F=(∠B+∠D) 1 针对训练 分析：连接EF 由8字模型的结论知： ∠D+∠A=∠2+∠3，∠B+∠C=∠CFE+∠BEF ∴∠D+∠A+∠BEA+∠CFD =∠2+∠3+∠BEA+∠CFD =∠CFE+∠BEF ∵∠1=60° ∴∠CFE+∠BEF=180°-∠1=180°-60°=120° ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠BEA+∠CFD =2(∠CFE+∠BEF) =2×120 =240° 240° 3、如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( ) 三角形 （飞镖模型） 结论 ∠A+∠B+∠C=∠D ∠3是△ABD的一个外角， 由外角的性质可得： ∠3=∠1+∠B 同理，在△ACD中 ∠4=∠2+∠C ∴∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠C ∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠B+∠C ∴∠D=∠A+∠B+∠C 证法1： 结论 ∠A+∠B+∠C=∠D 延长BD交AC于E ∠BEC是△ABE的一个外角， 由外角的性质可得： ∠BEC=∠A+∠B 同理，在△DEC中 ∠BDC=∠C+∠BEC ∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C 证法2： E 针对训练 分析：标记中间的交点为O，利用飞镖模型，可得∠EOC=∠D+∠E+∠C=135° ∠BOF=∠B+∠A+∠F=135° 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=270° 1、求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数 O 针对训练 分析：利用飞镖模型可得： ∠AMC=∠1+∠2+∠D 四边形ABCD内角和360° 又已知AM、CM是角平分线， 所以∠B+2∠1+2∠2+∠D=360° 可得2∠1+2∠2=2∠AMC-2∠D 所以∠B+2∠AMC-2∠D+∠D=360° 所以∠B+2∠AMC-∠D=360° 2、如下图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M。探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系。 针对训练 分析：利用飞镖模型可得： ∠BCE=∠FBC+∠FEC+∠F 可得2∠BCE=2∠FBC+2∠FEC+2∠F利用猪蹄模型可得： ∠BCE=∠ABC+∠DEC ∵BF、EF分别平分∠ABC和∠CED ∴∠ABC=2∠FBC，∠DEC=2FEC ∴2∠BCE=∠BCE+2∠F ∴∠BCE=2∠F 3、如图，已知AB∥DE，BF、EF分别平分∠ABC和∠CED交于点F，探索∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论。 三角形 （A字模型） 结论一、 已知∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A 分析：∵∠