4.3.2等比数列的前n项和（第二课时）性质和应用-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.掌握等比数列前n 项和公式在几何中的应用. 2.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题. 3.能够利用递推公式解决一些实际问题. 01 复习导入 复习导入 l na1 等比数列的前n项和公式 情景导入 l 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？ 研究侏罗纪蜘蛛网的长度，需要用到数列的哪些知识呢？ 02 等比数列前n项和公式的性质 新知探究 思考1：等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)有什么样的函数特征？ ①当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. ②当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. qn的系数与常数项互为相反数. 新知探究 例1.（1）一个等比数列的前 项和 ，则 ( @16@ ) A. B. C. D. B Sn＝Aqn－A.qn的系数与常数项互为相反数.∴1﹣2λ=﹣λ∴λ=1 （2）若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于　　　.  新知探究 例2.记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ.(1)当λ＝3时，求{an}的通项公式；(2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 分析　(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案．(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值． 新知探究 新知探究 例3.已知数列 <m></m> 的前 <m></m> 项和为 <m></m> ，若 <m></m> ，判断 <m></m> 是不是等比数列，说明理由. 解：由 <m></m> ，得 <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> , 令 <m></m> ,得 <m></m> ,所以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ,所以 <m></m> 是等比数列. 新知探究 等比数列的判定 (1)定义法：＝q(常数)(n∈N*)⇔{an}是等比数列；＝q(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)等比中项法：＝anan＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)通项公式法：an＝(Aq≠0)⇔{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)⇔{an}是等比数列注意：（3）（4）不能作为证明方法． 新知探究 思考2：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ 新知探究 例4.已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( @3@ ) A. B. C. D. D 解：设等比数列 <m></m> 的奇数项之和为 <m></m> ，偶数项之和为 <m></m> , 则 <m></m> 故数列 <m></m> 的所有项之和是 <m></m> . 又S奇 +60=S偶，则S奇 +60=3S偶 ∴S奇= 30，S偶= 90 新知探究 练习：已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=　　　　.  新知探究 思考3：已知等比数列的公比前项和为.证明，，成什么数列？ 时， 所以， 因为为常数，所以成等比数列，公比为. 新知探究 新知探究 练习：在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=　　　　.  解：∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1, ∴S2,S4﹣S2,S6﹣S4也构成等比数列, 即7,S4-7,91-S4构成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. 又S4=a1+