压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

压轴小题10 迎刃而解平面解析几何综合问题 压轴秘籍 1. 点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 2. 两条平行线间的距离公式 ，， 3. 直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，几何关系 4. 圆上一点的切线方程 5. 圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 6. 弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设，，有： 则 或： 1. 椭圆离心率 ， 2. 双曲线离心率 ， 3. 椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形） 4. 双曲线焦点三角形面积公式： 5. 抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B两点，设，有 6.椭圆离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式2: 变形 证明: 公式3:已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得:,即 . 公式 4: 以椭圆 两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点 , 则 证明: 由正弦定理有. 公式5:点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 7.双曲线离心率求解的5种常用方法 公式1: 公式 证明: 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 证明:, 由正弦定理得: 由等比定理得: 即。 公式4:以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 证明:由正弦定理,有 即 又 公式5:点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 8.椭圆中的阿基米德三角形 设椭圆的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 9.双曲线中的阿基米德三角形 设双曲线 的弦为 为阿基米德三角形, 则有: 性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上. 其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上. 性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 . 性质 3: 当 点为焦点时, . 10.抛物线中的阿基米德三角形 抛物线的弦为 为阿基米德三角形, 则有: （1） 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴 （2） 若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 , 则另一顶点 的轨迹为一条直线 （3） 若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: , 则定点的坐标为 . （4） 底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 . （5） 若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 （6） 在阿基米德三角形中, （7） . （8） 抛物线上任取一点 (不与 重合), 过 作抛物线切线交 于 ,连接 , 则 的面积是 面积的 2 倍 压轴训练 一、单选题 1．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知直线l1：与l2：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（    ）． A． B． C． D．1 5．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆）的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两