压轴大题12 披荆斩棘搞定导数综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（广东专用）

压轴大题12 披荆斩棘搞定导数综合问题 压轴秘籍 1. 导函数与原函数的关系 单调递增，单调递减 2. 极值 （1） 极值的定义 在处先↗后↘，在处取得极大值 在处先↘后↗，在处取得极小值 3. 两招破解不等式的恒成立问题 (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. (1)分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． (2)函数思想法 第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 4. 常用函数不等式： ①，其加强不等式； ②，其加强不等式. ③，， 放缩 ， 5. 利用导数证明不等式问题： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）转化为证不等式（或），进而转化为证明（），因此只需在所给区间内判断的符号，从而得到函数的单调性，并求出函数的最小值即可. 6. 证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 压轴训练 一、解答题 1．（23·24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数. (1)若，求实数k的取值范围； (2)求证：. 2．（23·24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，分别为和，求的最小值. 3．（22·23·佛山·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论函数极值点的个数； (2)对任意的，都有，求实数的取值范围. 4．（22·23·广东·模拟预测）已知函数 (1)当时，证明：； (2)已知在上恒成立，求的取值范围. 5．（23·24高三上·广东肇庆·阶段练习）设，为实数，且，函数. (1)讨论的单调性； (2)设，函数，试问是否存在极小值点?若存在，求出的极小值点；若不存在，请说明理由. 6．（2023·广东茂名·二模）已知函数，为常数，且. (1)判断的单调性； (2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：. 7．（2023·广东广州·二模）已知函数，. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)已知，证明：. 8．（2023·广东湛江·二模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程． (2)若存在使得，证明： （i）； （ii）． 9．（2023·广东·二模）已知，存在，使得． (1)求实数a的取值范围； (2)试探究与3的大小关系，并证明你的结论． 10．（2023·广东广州·三模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的零点个数． 11．（2023·广东汕头·三模）已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：对任意的，； (3)讨论函数在上零点的个数. 12．（2023·广东汕头·二模）已知函数，，. (1)若函数存在极值点，且，其中，求证：； (2)用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围. 13．（23·24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知函数. (1)求的极值点； (2)若（且），证明：对一切，都有 （ⅰ）； （ⅱ）. 14．（23·24高三上·广东汕头·阶段练习）已知函数，为参数且． (1)函数的值域为时，求参数m的取值范围； (2)当时，若方程有两个不等实数解，，完成以下两个问题： ①求的取值范围； ②证明：． 15．（22·23·深圳·模拟预测）（1）当时，求证：. （2）已知函数有唯一零点，求证：且. 16．（23·24高三上·广东·阶段练习）已知函数． (1)试讨论的极值点的个数； (2)若，且对任意的都有，求的取值范围． 17．（23·24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)曲线在点处切线为，求证：上的点都不在直线的下方； (2)若关于的方程有不等实根求证：． 18．（23·24高三上·广东·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 19．（23·24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数无零点，求a的取值范围.