压轴大题11 直曲结合解决圆锥曲线综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（广东专用）

压轴大题11 直曲结合解决圆锥曲线综合问题 压轴秘籍 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解 2.若直线与圆雉曲线相交于，两点， 由直线与圆锥曲线联立，消元得到（） 则： 则：弦长 或 圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理） 设直线方程为: (特殊情况要对 进行讨论), 圆锥曲线的方程为: , 把直线方程代入曲线方程, 可化为 , 设直线和曲线的两交点为 , 求根公式为 (1) 若消去 y, 得 则弦长公式为: (2) 若消去 则弦长公式为: 3. 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化简即可. 压轴训练 一、解答题 1．（2023·广东·模拟预测）已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆标准方程； (2)若为原点，且满足，求的面积. 2．（2023·广东广州·三模）直线经过点且与抛物线交于两点． (1)若，求抛物线的方程； (2)若直线与坐标轴不垂直，，证明：的充要条件是． 3．（2023·广东韶关·模拟预测）已知双曲线的左右焦点为，，经过的圆（为坐标原点）交双曲线的左支于，，且为正三角形. (1)求双曲线的标准方程及渐近线方程； (2)若点为双曲线右支上一点，射线，分别交双曲线于点，，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？ (2)已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值. 5．（2023·广东广州·三模）已知椭圆：的左、右焦点为，，离心率为，为椭圆上的一点，且的内切圆半径最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)直线：交椭圆于，两点，的角平分线所在的直线与直线交于点，记直线的斜率为，试问是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 6．（2023·广东汕头·三模）已知拋物线和，其中.与在第一象限内的交点为.与在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线的夹角. (1)若的夹角为，，求的值； (2)若直线既是也是的切线，切点分别为，当为直角三角形时，求出相应的值. 7．（2023·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值. 8．（2023·广东广州·一模）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切. (1)求C的方程； (2)直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由. 9．（2023·广东茂名·三模）已知双曲线的离心率为2. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若双曲线的右焦点为，若直线与的左，右两支分别交于两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 10．（2023·广东湛江·一模）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆E的标准方程； (2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 11．（2023·广东深圳·模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为. (1)求双曲线C的方程； (2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 12．（2023·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点P到点的距离比到y轴的距离大l，记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点F且斜