压轴大题09 归纳总结梳理数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（广东专用）

压轴大题09 归纳总结梳理数列综合问题 压轴秘籍 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 压轴训练 一、解答题 1．（23·24高三上·广东广州·阶段练习）已知数列为非零数列，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（23·24高三上·广东惠州·阶段练习）已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，记的前项和为，求. 3．（23·24高三上·广东珠海·阶段练习）已知数列满足（是常数）. (1)若，证明是等比数列； (2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和. 4．（23·24上·安徽·开学考试）已知数列满足，. (1)记，求证：数列是等比数列； (2)若，求. 5．（23·24上·深圳·开学考试）已知数列为正项等差数列，数列为递增的正项等比数列，，. (1)求数列，的通项公式； (2)数列满足，求数列的前2n项的和. 6．（23·24上·沙坪坝·阶段练习）已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且，. (1)求数列、的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求证：. 7．（23·24上·广东·阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求不等式的解集． 8．（23·24高三上·广东湛江·阶段练习）已知数列的前项和满足． (1)证明：为等差数列； (2)若，证明：． 9．（23·24高三上·广东广州·阶段练习）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明： 10．（23·24高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)记，记为数列的前项和，求. 11．（23·24高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设的前n项和为，求． (3)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值． 12．（23·24高三上·广东江门·阶段练习）已知数列和，其中的前项和为，且，. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)记，求证：. 13．（23·24高三上·广东肇庆·阶段练习）记数列的前项和为，已知，是公差为1的等差数列. (1)求的通项公式； (2)设为数列落在区间，内的项数，在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和. 14．（23·24高三上·广东广州·阶段练习）已知等比数列，等差数列的公差，且，，，． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列对任意，均有成立，求的通项公式． 15．（2023·广东·模拟预测）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，． 16．（22·23高三下·广东汕头·阶段练习）已知数列满足，． (1)记，求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求证：． 17．（22·23高三下·广东广州·阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示） (1)求的通项公式. (2)求证：对任意的，，都有. 18．（23·24高三上·湖北·阶段练习）已知数列满足， (1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由； (2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：. 19．（23·24高三上·广东广州·开学考试）记数列的前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，证明对任意，； (3)某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）. 参考数据：，， 20．（23·24高三上·山东·开学考试）已知正项数列的前n项和为，对一切