专题11 解直角三角形之新定义模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题11 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 【知识储备】 模型1、新定义模型 此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 图1 图2 2）余弦定理：如图2， ． 3）正弦面积公式：如图2，. 4）同角三角函数的基本关系式:，。 5）和（差）、二倍角角公式： ; . ; . . 例1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得，即：，（规定）． 探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：． 学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 例2．（2023秋·广东九年级课时练习）我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，，∴， 在中，由勾股定理得，即， 整理可得：，同理可得：． 利用上述结论解答下列问题：（1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积 (1)在中，，，，求b边对应的高的长度． (2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：. (3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：． 例4．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下面的面积公式 （海伦公式） （秦九韶公式） 若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为 （可以直接利用上面的面积公式） 例5．（2022秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）关于三角函数有如下公式： ， ， （其中：） 例如：．利用上述公式计算下列三角函数：①，②，③，④ 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例6．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一  如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==． 思路二  利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==． 请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度． 例7．（2022·山东济南·统考模拟预测）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________． 例8．（2023·湖南·统考一模）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角