27.1 圆的确定（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学下册同步讲与练 (沪教版)

27.1 圆的确定 1.理解并掌握圆及其基本元素弦、弧、圆心角等有关概念. 2.能够根据条件画出图形,在画图的过程中加深对圆及其基本元素的理解. 知识点一 圆的概念及表示方法 1.圆的概念 (1) 圆的描述性定义:如图所示,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA 叫做半径 (2) 圆的集合性定义:将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 (3) 圆的表示方法:以点0为圆心的圆,记作,读作“圆O” 注意 (1) “圆”指的是“圆周”(一条封闭的曲线),而不是圆面. (2) 确定一个圆的两个因素:圆心和半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小. (3) 圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形. (4) 半径是线段. 2.圆内、圆外的概念 在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部(简称圆内),不含圆心的部分叫做圆的外部(简称圆外).以圆周为分界线所成的两部分，分别叫做圆的内部和外部，简称“圆内”“圆外”. 即学即练下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过点 知识点二 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点到圆心的距离d与半径r数关系 图形 推理过程 点在圆内 点A在圆内 点在圆上 d＝r 点A在圆上 点在圆外 d＞r 点A在圆外 注意： 符号“⇔”读作“等价于”,表示这个符号两边的数学事实可由左边推出右边，也可由右边推出左边. 即学即练 如图所示，已知矩形的边若以点为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 判断点和圆的位置关系的方法： 要判断点和圆的位置关系，只要求出这个点到圆心的距离d,再用d与圆的半径R比较即可；反过来，若已知点与圆的位置关系，则点到圆心的距离d与圆的半径R之间的数量关系也就随之确定了. 知识点三 圆的确定 条件 依据 作图 圆的个数 过一个点作圆 经过一个点A 作圆,只要以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆就可以作出 无数个 过两个点作圆 经过两个点A，B作圆，只要以与点A,B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点 B的距离为半径作圆就可以 无数个 过不在同一条直线上的三个点作圆 经过不在同一条直线上的三个点A，B,C作圆,圆心到这三个点的距离相等，因此，圆心在线段AB，BC的垂直平分线的交点O处,以0为圆心,线段OA(或OB,OC)为半径可作出经过A,B,C三个点的圆 一个 性质:不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 知识点四 三角形的外接圆 三角形的三个顶点不在同一直线上，因此三角形的三个顶点确定一个圆. 1.三角形外接圆的有关概念 经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三 角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这 个多边形叫做这个圆的内接多边形. 2.三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 3.不同类型的三角形外心的位置特征 锐角三角形：外心在三角形的内部; 直角三角形：外心在直角三角形斜边的中点); 钝角三角形：外心在三角形的外部). 三角形外接圆的作法： (1)作三角形两边的垂直平分线找出交点； (2)以交点为圆心，以圆心到三角形任一顶点的距离为半径作圆. 即学即练（2020上·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若AB＝6，∠A＝30°，请求出扇形AOC的面积． 题型1圆的基本概念辨析 例1（2022上·上海黄浦·九年级统考期中）已知：在中，，则BC的值（    ） A．只有1个 B．可以有2个 C．可以有3个 D．无数个 举一反三1（2020上·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．半圆是弧 B．过圆心的线段是直径 C．弦是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 举一反三2（2019·上海嘉定·统考一模）已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部 C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部 题型2圆的确定 例2（2021上·全国·九年级专题练习）下列条件