5.1.2导数的概念及其几何意义（1）教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义（1） 一、教学内容及其解析 1.内容：导数的概念. 2.内容解析： 内容的本质：本节内容是人教Ａ版选择性必修第二册《5.1.2导数的概念及其几何意义》的第一课时. 教科书按概念抽象的基本过程，在分析两个典型实例属性的基础上，通过比较、综合，并舍去具体背景，从思想方法和表达形式上归纳出共性，并用于描述一般函数从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而抽象出导数的概念，即导数是瞬时变化率的数学表达. 这里设计了3次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程：过程1和过程2都是典型实例分析，过程1研究物理学中由平均速度过渡到瞬时速度的过程；过程2研究几何学中由特殊曲线的割线斜率过渡到切线斜率的过程; 过程3研究一般函数由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程从而给出导数的概念. 通过这些过程，学生初步理解了导数的内涵（即导数就是瞬时变化率）及其蕴含的“运动变化的观点”和极限思想，同时为下节课导数的几何意义奠定基础. 蕴含的数学思想和方法：在研究导数的概念的过程中，要不断渗透“用运动变化的观点研究问题”“逼近(极限）”等微积分的重要思想，不断让学生体会极限的思想和方法，提升学生的数学抽象和直观想象素养. 教学重点：导数概念的理解和极限思想. 二、学情分析 导数的概念非常抽象，它的内涵与思想不易把握，因此在详细分析两个典型变化率问题的基础上，引导学生抽象概括出这两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征，并用这种思想方法研究一般函数从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，使学生获得导数的概念. 另外，高中阶段没有建立完整的微积分知识体系，也不专门讲授极限的具体知识，所以极限的思想和方法必须结合具体内容的展开加以渗透，因此要抓住一切机会渗透极限思想，把“体会极限思想”落到实处. 3、 教学目标及其解析 目标 达成目标的标志 1. 能从具体案例中抽象概括出导数的概念. 能体会出具体案例中的思想方法，并能将它推广到一般的情形，抽象概括出导数的概念. 2. 会用导数的定义求简单函数在某点处的导数，能归纳出根据导数定义求函数导数的步骤. 能根据导数的定义求简单函数的导数. 3. 进一步体会导数的内涵与意义，进一步体会极限思想. 知道导数是瞬时变化率的数学表达，对极限思想有一定的认知. 四、教学问题诊断分析 1.学生已有基础 通过前面2节课典型实例的分析，学生已经较为充分地经历由平均速度过渡到瞬时速度以及由特殊曲线的割线斜率过渡到切线斜率的过程，初步体会其中蕴含的导数的内涵和思想，并对极限思想有了一定的感受，这些基础对于学生抽象概括出导数的概念都能起到思路引领的作用. 2. 学生可能遇到的难点 导数的概念过于抽象，它的内涵与思想不易把握. 根据前面两节课以及学生收集到的具 体情境归纳共性并在舍去具体情境后抽象出导数的概念是不易的. 在学习完概念后，在具体情境中应用导数的概念并能理解和说明所求导数的实际意义也是一个难点. 3.突破难点的策略 结合前面两节课的铺垫，紧抓思想主线，引导学生通过类比，从特殊推广到一般，抽象概括出一般函数的导数的概念并理解它的内涵，即导数就是瞬时变化率，同时通过3道例题的讲解，让学生进一步巩固导数的概念，并形成用概念求导数的基本步骤，也为后续导数的运算做好铺垫. 教学目标： （1） 通过类比研究瞬时速度、切线的斜率的思想方法，抽象概括出导数的概念，体会极限思想，提升数学抽象素养. （2） 根据对导数概念的理解，能求简单函数的导数，并能归纳出根据导数概念求函数导数的一般步骤，提升数学运算素养. 教学重难点： 重点：导数的概念和极限思想． 难点：从求瞬时速度、切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念. 五、教学过程 【概念形成】 前面我们研究了两类变化率问题：在高台跳水运动员的速度问题中，我们用无限趋近于0时的平均速度逼近瞬时速度；在抛物线的切线斜率问题中，我们用无限趋近于0时的割线斜率逼近切线斜率. 请同学们小组展示找到的与“变化率”有关的实例.（课前布置找实例并写出解答过程） 设计意图：让学生搜集“变化率”实例并写出完整的解答过程，一方面巩固之前的知识，另一方面为寻找出这类问题的共性并抽象出导数概念做好铺垫. 师生活动：PPT展示之前课上的两个情境. 情境1：高台跳水问题. 涉及问题：平均速度（平均变化率）瞬时速度（瞬时变化率）. 数学表达：. 情境2：抛物线的切线问题. 涉及问题：割线斜率（平均变化率）切线斜率（瞬时变化率）. 数学表达：. 学生展示找到的实例. 问题1：解决这类问题时有什么共性呢？ 预设：都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法. 问题2：舍去实际背景，对于一般的函数，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点（如）处的瞬时变化率