5.1.2导数的概念及其几何意义第一课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其几何意义(1) 1 学习目标： （1）通过类比研究瞬时速度、切线的斜率的思想方法，抽象概括出导数的概念，体会极限思想，提升数学抽象素养. （2）根据对导数概念的理解，能求简单函数的导数，并能归纳出根据导数概念求函数导数的一般步骤，提升数学运算素养. 问题回顾 物理问题： 情境1：高台跳水问题 几何问题： 情境2：抛物线的切线问题 切线斜率 割线斜率 瞬时速度 平均速度 瞬时变化率 平均变化率 取极限 取极限 取极限 逼近 问题1：解决这类问题时有什么共性呢？ 平均变化率：. ∆y ∆x ∆x→0时，看平均变化率情况. 若∆x→0时，平均变化率无限趋近于唯一一个确定的值， 即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导， 并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作或， 即= 2.瞬时速度是导数，但导数不一定是瞬时速度； 3.导数是一种极限，求导数就是求极限，函数在某点处不一定有导数. 利用导数的定义求导数 小结：利用导数的定义求导数的步骤 用导数定义求函数y=f(x)在x=x0的导数的基本步骤： ①计算函数的平均变化率=并化简； ②求极限，若极限值存在，则导数f '(x0)= 理解导数(瞬时变化率)的意义 例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为f(x)=x²－7x＋15(0≤x≤8). 计算第2 h与第6 h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 故在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 意义： 结合图象和导数的意义，函数先下降且下降趋势逐渐平缓，表明温度在逐渐下降，且下降速率逐渐减小，直至到图象最低点所对应的时刻，它温度在该时刻的瞬时变化率为0；此后每一时刻温度的瞬时变化率都为正，且每一时刻的瞬时变化率都在增大. 理解导数(瞬时变化率)的意义 例3.一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 v(t)=﹣t²+6t＋60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 故在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别为2 m/与－6 m/. 意义：在第2 s附近，汽车速度大约以2 m/s的速率增加； 在第6 s附近，汽车速度大约以6 m/s的速率减少. v'(t0) (t0≥0)反映了汽车速度在时刻t0附近的变化情况 课堂小结 用导数定义求函数y=f(x)在x=x0的导数的基本步骤： ①计算函数的平均变化率=并化简； ②求极限，若极限值存在，则导数f '(x0)= $$