5.1.1变化率问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1　变化率问题 授课教师： 刘春芳 平均速度 1 问题1 跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水过程中的快慢程度呢？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度 近似地描述他的运动状态. 平均速度 1 问题1 跳水运动员的速度 思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 运动员在 时间段内的平均速度 举一反三 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度. 平均速度 1 问题1 跳水运动员的速度 思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 运动员在 时间段内的平均速度 思考2 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 特 殊 一 般 平均速度 1 思考3 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 平均速度不能准确刻画运动员的运动状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 问题1 跳水运动员的速度 瞬时速度 2 瞬时速度： 物体在某一时刻的速度. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系？ 你能利用这种关系求运动员在 时的瞬时速度吗？ 瞬时速度 2 为了求运动员在 时的瞬时速度，我们在 之后或之前，任取一个时刻 ， 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 问题1 跳水运动员的速度 瞬时速度 2 问题1 跳水运动员的速度 瞬时速度 2 问题1 跳水运动员的速度 1、跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度： 2、跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：   平均速度与瞬时速度 2 β y=f(x) P Q M Δx Δy O x y β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y 1、如图,函数y= f(x)的图象上有任意一点P(x0,y0),点Q为点P在曲线C上邻近的一点,Q(x0+∆x,y0+∆y)，     切割线斜率 3 知识梳理　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (2)实质： 的增量与 的增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两 点，则平均变化率 表示割线P1P2的 . 函数值 自变量 斜率 14 P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T   当△x→0,割线PQ有一个极限位置PT， 我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 3、割线斜率与切线斜率 （1）、割线与切线的关系 如图所示,当点Pn(xn,f(xn))沿着曲线无限接近点P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置。这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。   所以，曲线在点P(x0,y0)处的切线的斜率为：   知识梳理　   练习     1 类型一　求瞬时速度 ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 解答 例1　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度. 题型探究 3 引申探究　 1.若例2中的条件不变，路程s与时间t关系仍用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度. 解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度. 解答 ∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s. 2.若例2中的条件不变，路程s与时间t关系仍用函数s(t)＝t2＋t＋1表 示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 解答 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 反思与感悟:求运动物体瞬时速度的三个步骤 ①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； 类型2　函数的平均变化率 解答 解　在x＝1附近的平均变化率为 在x＝2附近的平均变化率为 在x＝3附近的平均变化率为 由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大. 求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).