专题4.1 数列的函数特征（4类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1 数列的函数特征 【考点1：数列的周期性】 1 【考点2：数列的单调性】 2 【考点3：数列的最大（小）项】 3 【考点4：数列中的恒成立问题】 4 【考点1：数列的周期性】 【知识点：数列的周期性】 周期数列的常见形式与解题方法 (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 1．（2023上·黑龙江绥化·高二校考阶段练习）在数列中，，（），则的前2022项和为（    ） A．589 B．590 C． D． 2．（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．3 B． C． D． 3．（2023上·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．9 4．（2023上·江苏南通·高二统考阶段练习）设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 5．（2023·四川成都·统考二模）已知数列满足，若，使成立的的最小值为数列的首项，则数列前2023项的积为（    ） A．0 B．1 C． D． 6．（2023上·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）已知数列满足：，且，则 . 7．（2022上·云南曲靖·高二校考期末）已知数列满足且，则 ． 8．（2022上·广东广州·高二统考期末）若数列满足，，则 ， ． 【考点2：数列的单调性】 【知识点：数列的单调性】 (1)数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号． (2)数列是自变量不连续的函数，不能对数列直接求导判断单调性．要先写出数列对应的函数，对函数进行求导，再将函数的单调性对应到数列中去． (3)解决数列单调性的方法主要有: 作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断. ①作差比较法 an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． ②作商比较法 an>0时 ①>1⇔数列{an}是单调递增数列； ②<1⇔数列{an}是单调递减数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 an<0时 ①>1⇔数列{an}是单调递减数列； ②<1⇔数列{an}是单调递增数列； ③＝1⇔数列{an}是常数列 1．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 3．（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知满足对一切正整数均有且恒成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．（2023上·重庆·高二重庆八中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是 . 6．（2023上·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第 项. 【考点3：数列的最大（小）项】 【知识点：数列的最大（小）项】 (1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 1．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为第________项． 2．（2022·上海嘉定·高三阶段练习）已知数列的通项公式为，则取最大值时，___________. 3．（江苏省连云港市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数列的通项公式，前n项和是，对于，都有，则k＝______． 4．（福建省宁德市2023届高三上学期期中区域性学业质量检测数学试题（C卷））已知数列中，，），则数列的前项和的最小值为___． 5．（2022·北京·首都师范大学附属密云中学高三阶段练习）数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.若，则的峰值为___________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________． 6．（2022·全国·高