2023—2024学年苏科版数学八年级上册 《实数》与《平面直角坐标系》知识点总结+练习

实数 1、平方根的概念：如果x2＝a (a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根． ◆平方根的表示方法：正数a的两个平方根记作“±”，读作“正负根号a”. ◆开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方. 开平方与平方互为逆运算. 2、算术平方根的概念：正数a有两个平方根±，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根. ◆算术平方根与平方根的联系与区别： 【注】平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数.（2）0的平方根是0. （3）负数没有平方根. 3、立方根的概念：一般地，如果 x3＝a ，那么x叫做a的立方根，也称为三次方根． ◆立方根的表示方法：实数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.且根指数3不能省略. ◆开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 开立方与立方互为逆运算. ◆立方根与平方根的区别与联系： 【注】立方根的性质：（1）正数的立方根是正数.（2）0的立方根是0. （3）负数的立方根是负数. 4、无理数的概念：无限不循环小数. ◆无理数的常见形式： （1）根号型：如、等. （2）含π型: 如π+1、. （3）构造型:1.01001000100001 ⋯ 5、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ◆实数的分类： 1.按概念： 2.按性质（正负）： 【注】 1、实数的性质： （1）实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样. （2）实数与数轴上的点是一一对应关系. （3）有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. （4）有理数的运算法则、运算律，在实数范围内仍然适用. 2、实数的综合应用： （1）实数大小比较的常用方法： ①直接比较法：被开方数越大，其算术平方根越大（被开方数是非负数）； ②平方法：平方后的结果越大，原数的绝对值越大； ③估算法：利用数的近似值进行比较. 常用实数近似数： ~ 1.414 ， ~ 1.732 ， ~ 2.236 ， ~ 2.646 . （2）平方根的整数部分和小数部分的表示： 当 m2 ＜ a ＜ (m +1)2 时( m 为非负整数)， m ＜ ＜ m +1 ，利用这个关系可以确定 的整数部分为 m ，小数部分为 - m . （3）实数的运算技巧： ①当被开方数的小数点向右（或向左）移动 2n位时，它的算术平方根的小数点相应地向右（或向 左）移动 n 位（ n 为正整数）； ②当被开方数的小数点向右（或向左）移动 3n位时，它的立方根的小数点相应地向右（或向左） 移动 n 位（ n 为正整数）. 6、近似数的概念：与实际情况完全符合的数叫做准确数.接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数. ◆精确度：近似数与准确值的接近程度，用精确度表示. 常用四舍五入法对近似数进行精确. 用“四舍五入法”取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． ◆近似数的常见表达方式： （1）用数位表示：如精确到万位； （2）用小数表示：如精确到0.1； （3）对带有单位的数可用单位表示：如精确到米. 【例1】算术平方根、平方根与立方根的概念 （1）的平方根是______ ． （2）的立方根是 ． 【变式1-1】若，，= ． 【变式1-2】已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【变式1-3】已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【例2】算术平方根的非负性 （1）若，则的值为  (    ) A. B. C. D. （2）实数、满足，则的值为(    ) A. B. C. D. 【变式2-1】已知，则的平方根是 ． 【变式2-2】已知a、b、c满足，则的平方根为 ． 【例3】实数的有关概念 六个数：0.123，，3.1416，﹣2π，（﹣1.5）3，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若其中无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则x+y+z＝ 【例4】无理数的估算 若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【变式4-1】有一张面积为的正方形卡片． (1)该正方形贺卡的边长为_________； (2)现有一个面积为的长方形卡袋，长宽之比为，能否将这张卡片不折叠且全部放入此卡袋？请判断并说明理由． 【变式4-2】下面是小李同学探索的近似数的过程： 面积为107的正方形边长是，且， 设，其中，画出如图示意图：   图中，， ， 当较小时，省略，得，得到，即． (