几何体外接球常用结论及方法-2024届高三数学一轮复习

几何体外接球常用结论及方法（如何求几何体的外接球半径） 一、在涉及球的问题中，经常用到结论： （1）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的半径． （2）等边三角形外接圆的半径等于连长的倍． （3）直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半． （4）一般的三角形可由正弦定理：（为外接圆半径）求得外接圆半径，内切圆的半径通过：（为内切圆的半径）求得． （5）已知三棱锥，面，若，的外接圆半径为，则该三棱锥的外接球半径为． （6）正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长、棱长、面对角线长． （7）在四面体，若，，则四面体的外接球的直径是． （8）对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出.如针对正三棱锥，可根据平面几何中的射影定理（为正三棱锥的高，为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积． （9）正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间的关系： ①高：；②球心把高分成3：1；③内切球半径：；外接球半径：. （10）有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：． （11）三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥中，面面，且，的外接圆半径分别记为，公共棱，则该三棱锥的外接球半径满足： 证明：分别在，所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图 在的外接圆周上调整点的位置到点，使，在的外接圆周上调整其形状，将调整到，调整到，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，从而得到新的三棱锥，则，，，，，三棱锥的外接球与的三棱锥的外接球是重合的，因此所求得外接球半径满足． （12）三棱锥给出两个侧面的夹角大小（夹角），及其相应两个侧面的三角形的外接圆半径和公共弦长的情形： ，已知面与所形成的二面角为，且已知和的外接圆的半径分别为，，，则该棱锥的外接球半径满足： 证明：如图，取，的外接圆圆心分别为，分别过作面，的垂线，两条垂线必交于一点，该即为该三棱锥的外接球的球心． 再取公共棱的中点为，连接，，则四点共圆 且， 在直角三角形中，根据勾股定理得：，同理可得 ， 在和中，根据，，结合余弦定理可得到：之间的等量关系 ． （13）计算球的表面积或体积，必须求出球的半径，一般方法有（核心：补体定心） ①根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径；（当涉及的多面体较多垂直时，考虑此法，充分利用直角三角形斜边的中点，找出小圆圆心或球心位置，进而求出球的半径.） ②考虑补体法，求出多面体的外接球的直径.当三棱锥中，三对对棱分别相等时，可构造一个长方体；当三棱锥有三条（可不相邻）两两垂直的线段时，也可构造一个长方体，正四面体可将其补成正方体，有侧棱垂直底面的棱锥可构造直棱柱． ③有时可借用球的性质（球心与小圆圆心相连垂直小圆所在的平面），根据几何关系求出球的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$