第二部分 网格在解轴对称题中的应用&跨越空间求最值-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（苏科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 网格在解轴对称题中的应用 轴对称是新课标中“空间与图形”的一个 重要内容,利用轴对称能够展现几何图形的 内在的性质和几何图形外在的美,让学生欣 赏并体验变换在现实生活中的广泛应用,使 学生经过观察、操作、猜想、推理等过程,培养 学生的图形识别能力,加强对其图形性质、内 涵的深入认识.近几年这类作图题往往以网 格为载体,本专题以这类问题为例,探究这类 问题的一般方法,供参考. 例 如图,在网格中有两个全等的图形 (阴影部分),用这两个图形拼成轴对称图形, 试分别在图(1)、图(2)中画出两种不同的 拼法. 解析 由于这是一道开放题,答案很多. 可应用网格线为对称轴来构造轴对称图案. 答案 下面提供部分答案,供同学们参 考.不同的画法列举如下: 1. 如图甲,正方形被划分成16个全等 的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足 下列条件:(1)涂黑部分的面积是原正方形面 积的一半;(2)涂黑部分成轴对称图形.如图 乙是一种涂法,请在图1~3中分别设计另外 三种涂法.(在所设计的图案中,若涂黑部分 全等,则认为是同一种涂法,如图乙与图丙) 2. 按要求完成作图. (1)作出△ABC关于y轴对称的△AB1C1; (2)在x 轴上找出点P,使PA+PB 最 小,并写出点P 的坐标. 44 第 二 部 分 专 题 选 讲 跨越空间求最值 求最大值或最小值问题是数学考查的热 门题型,而不少同学对此一筹莫展,找不到解 题的突破口,别急! 请勾股定理来帮忙,你会 冲出难关,享受到数学成功的快乐! 例 如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶 点A 出发,沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处(三条棱长如图所示).怎样走路线最 短? 最短路线长为多少? 解析 蚂蚁由点 A 沿长方体的表面爬 行到点C1,有三种方式:①经过ABB1A1 和 A1B1C1D1 两 面;② 经 过 ABB1A1 和 BCC1B1 两 面; ③ 经 过 AA1D1D 和 A1B1C1D1 两面.把三种方式分别展成平面 图形如下: 答案 ①在Rt△ABC1 中,AC21=AB2 +BC21=42+32=25,∴AC1= 25; ②在 Rt△ACC1 中,AC21=AC2+CC21 =62+12=37,∴AC1= 37; ③在 Rt△AB1C1 中,AC21 =AB21 + B1C21=52+22=29,∴AC1= 29. ∵25<29<37,∴沿图①的方式爬行最 短,最短路线长为5. 1. 如图,一只昆虫要沿正方体表面从正 方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶 点,哪条路线最短? 画图说明. 2. 如图,一个圆柱它的高等于8cm,底 面半径等于2cm,在圆柱下底面的点A 处有 一只蚂蚁,它想吃到上底面与点A 相对的点 B 处的食物,蚂蚁沿圆柱面爬行的最短路程 是多少? (π的值取3)如果圆柱的高改为 7cm,底面半径改为8cm,那蚂蚁又该按哪种 路线爬行最短呢? 54 ∵3≤x≤8,∴5≤x≤8且为整数,∵y=100x+9400,k=100>0,y 随x 的增大而增大,∴当 x=5时,y 最小,最小值为y=100×5+9400=9900(元).答:使总运费最少的调配方案:5辆 大货车、5辆小货车前往A 村;3辆大货车、2辆小货车前往B 村.最少运费为9900元. 第二部分 专题选讲 分割也全等 1. 只要折叠的时候折线过长方形对角线的交点,便可以折成两个全等的图形,共有无数 种折法.图略. 2. 解:如图所示(答案不唯一): 3. 解:如图所示(答案不唯一): 公共边给全等带来什么 解:△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△DBE≌△DCE. 在△ABD 与△ACD 中,∵ AB=AC DB=DC AD=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,∴△ABD≌△ACD(SSS). 网格在解轴对称题中的应用 1. 解:观察图甲,最小的三角形共有16个,因此需涂黑8个,解答时先选定对称轴,在其 ·01· 两侧对称地涂黑,但要注意不同设计图案中涂黑部分不能全等,设计方案如图所示.(答案不唯 一) 2. 解:(1)△AB1C1 如图所示;(2)点P 如图所示,点P 的坐标为(2,0). 跨越空间求最值 1. 解:如图,把正方体的前面和右面展开,可得长方形,连接AC1,则AC1 即为最短路线, 同理可得其他最短路线.(因正方体放在地面上,故下表面不能走) 2. 解:如图1,根据“两点之间线段最短”,构造“直角三角形ABC”,再根据“勾股定理”,所 以蚂蚁的爬行路线应该是AB 的长度,AB= AC2+BC2= 82+62=10(cm).如果圆柱的 高改为7 cm,底面半径改为8 c