第二部分 分割也全等&公共边给全等带来什么-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（苏科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 分割也全等 我们知道,两个能够重合的图形是全等 图形,全等图形的大小和形状都相同.根据全 等形的特征,我们可将一个图形分割成两个 或多个全等的图形. 例 如图,8×8的正方形网格中共有12 枚棋子,请把这个正方形网格分成四个全等 的图形,要求每个图形中含有3枚棋子. 解析 观察图形及12枚棋子的分布,可 知有8枚棋子在一个正方形的四条边或顶点 上,另外4枚棋子在一个小正方形的四个顶 点上,要把这个图形分割成四个全等的图形, 且每个图形包含3枚棋子,可先确定这个图 形中心,也就是中间4枚棋子所在的正方形 的中心位置,然后过这个中心先分割成两个 全等图形,再把分割后得到的两个全等图形 再分别分割成两个全等的图形,即可得到四 个全等的图形. 答案 如图给出三种分割方案供参考. 1. 一个普通的长方形,折一次,变成两 个全等的图形,你有多少种折法? 2. 在下图中,沿着虚线,用实线把其分 割成两个全等的图形. 3. 请用三种不同的方法把一个平行四 边形分割成四个全等的图形. 24 第 二 部 分 专 题 选 讲 公共边给全等带来什么 在判定三角形全等时,经常会遇到含公 共边的三角形问题,有时同学们看不出来而 使思维受阻,题目得不到解决,下面分两类举 例说明,供同学们参考. 例1 如 图,AD∥ BC 且 AD =BC.试 问 △ACD 与 △CAB 全 等 吗? 为什么? 解析 通过AD∥BC,可得出∠DAC= ∠BCA,两 个 三 角 形 有 一 边 一 角 对 应 相 等 了,再加上公共边 AC=CA,就可证出两个 三角形全等. 答案 因 为 AD∥BC,所 以 ∠DAC =∠BCA. 在△ACD 和△CAB 中, AD=CB ∠DAC=∠BCA, AC=CA 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴△ACD≌△CAB(SAS). 评注 本题巧妙地应用了两个三角形重 叠在一起的公共边AC=CA 这一条件,利用 了SAS证明了两个三角形全等. 例2 如图,在△ABC 和△FED 中, AD=FC,AB=FE,BC=ED.说明△ABC ≌△FED 的理由. 解析 题目中给出AD=FC,但是它们 并不是两个三角形的对应边.由图形可知, AD+DC=AC,FC+DC=FD,所以AC= FD,再根据SSS可以说明两个三角形全等. 答案 因为AD=FC,所以AD+DC= FC+DC,即AC=FD. 在△ABC 和△FED 中, BC=ED AC=FD AB=FE 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 , 所以△ABC≌△FED(SSS). 评注 本题中两个三角形只有部分重 叠,在解题的过程中可以利用线段的“和”或 “差”来建立未知线段之间的关系.利用公共 边证明全等的基本图形有下面几种: 如图,AB=AC,DB=DC,EB=EC.请 写出图中所有的全等三角形,并选一个说明 理由. 34 ∵3≤x≤8,∴5≤x≤8且为整数,∵y=100x+9400,k=100>0,y 随x 的增大而增大,∴当 x=5时,y 最小,最小值为y=100×5+9400=9900(元).答:使总运费最少的调配方案:5辆 大货车、5辆小货车前往A 村;3辆大货车、2辆小货车前往B 村.最少运费为9900元. 第二部分 专题选讲 分割也全等 1. 只要折叠的时候折线过长方形对角线的交点,便可以折成两个全等的图形,共有无数 种折法.图略. 2. 解:如图所示(答案不唯一): 3. 解:如图所示(答案不唯一): 公共边给全等带来什么 解:△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△DBE≌△DCE. 在△ABD 与△ACD 中,∵ AB=AC DB=DC AD=AD 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,∴△ABD≌△ACD(SSS). 网格在解轴对称题中的应用 1. 解:观察图甲,最小的三角形共有16个,因此需涂黑8个,解答时先选定对称轴,在其 ·01·