5.1 导数概念及其运算 (题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教A版2019）

5.1 导数的运算 1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数. 2. 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 3. 理解函数的和、差、积、商的求导法则. 4. 理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 5. 了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 6. 能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数) 课标解读 1.通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题. 2.通过本节课的学习，要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题. 3.通过本节课的学习，要求会求简单的复合函数的导数，并能解决与之相关的切线、切点、斜率、待定参数相关的问题. 5.1 导数的运算 1 一、主干知识 2 考点1：函数的平均变化率 2 考点2：瞬时速度 2 考点3：函数在某点处的导数 3 考点4：导数的几何意义 3 考点5：导函数 3 考点6：几个常用函数的导数 4 考点7：基本初等函数的导数公式 4 考点8：和、差的导数 4 考点9：积、商的导数 4 考点10：复合函数的概念及求导法则 4 二、分类题型 5 题型一 变化率问题 6 命题点1　平均变化率、瞬时变化率 6 命题点2　导数（导函数）概念辨析 6 命题点3　利用定义求函数在某点的导数 8 题型二 基本初等函数的导数 9 命题点1　基本初等函数的导数公式 9 题型二 导数的四则运算法则 11 题型三 简单复合函数的导数 16 题型四 导数的概念及其几何意义 19 命题点1　求曲线切线的斜率 19 命题点2　求在曲线上一点处的切线方程 20 命题点3　两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 21 命题点4　求在某点处的导数值 22 三、分层训练：课堂知识巩固 25 一、主干知识 考点1：函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 考点2：瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 考点3：函数在某点处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 考点4：导数的几何意义 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线． (2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . (3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 考点5：导函数 　对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数), 即f′(x)＝y′＝ . 【重要结论总结】 1.用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率＝；③求极限 . (2)瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 2.区别与联系 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 考点6：几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 考点7：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′