第8讲 因数和倍数（讲义）人教版五年级下册数学

第8讲 因数和倍数 专题概述 因数和倍数包含着大量数学关系，在进行因数和倍数的训练时，掌握数的整除特征是基础，主要的题型有以下几个： (1)根据约数个数定理，求出因数个数及其相关问题； (2)根据数的整除特征，求出多个数的倍数问题； (3)在进行分配有多有少的情况时，先把多(少)的减(加)去(上),再通过因数或者倍数求出最后答案； (4)遇到已知总数的规划问题时，先列两个式子相减，将结果凑成整数，得出最后答案。 典型例题1 72的全部因数有多少个?全部因数的和是多少? 分析 根据约数个数定理，对于一个大于1的正整数n, 可以分解成k 个互不相同的质因 ，则n的因数个数=f(n)= 其中ai,a2,a3,…,az 是p₁ ,p2,p₃ ,…,p, 的指数。 72=2×2×2×3×3,所以72的因数有(3+1)×(2+1)=12(个)。 全部因数的和：1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72=195。 解 全部因数个数：(3+1)×(2+1)=12(个) 全部因数的和：1+2+3+4+6+8+9+12+18+24+36+72=195。 思维训练1 1. 自然数378000共有 个因数。 2.将1800分解质因数，并回答以下问题： (1)1800有多少个因数? (2)1800有多少个奇因数? (3)1800有多少个偶因数? 典型例题2 一个三位数，既有因数3,又是2和5的倍数，这个数最小是 。 分析 根据题意，可知这个三位数同时是2,3,5的倍数，根据2,3,5的倍数特征，这个三 位数个位必须是0,因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数；要想最小，百位上的数 字必须是1,然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1、十位上的数和个位的0 相加是3的倍数，因为1+0=1,1再加2,5,8的和是3的倍数，即十位可以是2,5,8,其中最小的是2。因此这个数最小是120。 思维训练2 1.611 至少要加上 ,才是2和3的倍数。 2. 在218后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3,4,5整除，且使这个数尽可能小。 典型例题3 "学雷锋"活动时，五(1)班学生带了39根香蕉和25个苹果去敬老院看望老爷爷和老奶奶。他们将香蕉和苹果分发给爷爷奶奶，每人一样多，结果香蕉剩下3根，苹果差2个。该敬老院最多有几位老人? 分析 39-3=36,25+2=27,敬老院老人数应该是36、27的因数。要求最多有几位老人，即求36,27的最大公约数。(36,27)=9,即这个养老院最多有9位老人。 解 39-3=36(根) 25+2=27(位) (36,27)=9 答：养老院最多有9位老人。 思维训练3 1. 有一盒糖果，每次取3颗正好能取完，每次取5颗则少3颗，每次取7颗也少3颗。问 这盒糖果至少有多少颗? 2. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过几年是你的5倍。"爷爷和小明现在的年龄各是多少? 典型例题4 有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元? 分析 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b 张、c 张、d 张，要求是否能够恰好是 100元，即求解得的a,b,c,d 是否都为整数，如果是，那就恰好是100元，如果不是，则总面值 不能恰好是100元。 解 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a 张、b 张、c 张、d 张，列方程如下： ② - ①得9b+99c+999d=9940,③ 注意到式③左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值 不能恰好为100元。 思维训练4 1. 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且每3位职工可带一个孩子参加，男职工每人种13棵数，女职工每人种10棵数，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵，那么其中有多少名男职工? 2. 将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最短是多少厘米? 竞赛强化 1. 自然数A=23×3²×52,A 的因数一共有 个。 2. 一排电线杆，原来每两根之间的距离是30米，现在改为45米。如果起点的一根电线杆不移动，至少再隔 米又有一根电线杆不需要移动。 3.A=2³×3²×52,A 有很多因数，其中最大的两位数是 。 4. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数，十位数字与个位数字的积是24。 这个两位数是 。 5. 在123后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能同时是3,4,5的倍数，且使这个数尽可能小，组成后的六位数是