第21章 一元二次方程 学案2023-2024学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 【中考考点归纳】 （一）解一元二次方程 （二）一元二次方程根的情况（根的判别式△） （三）根与系数的关系（韦达定理） （四）实际问题与一元二次方程 21.1一元二次方程 【知识点】 1.只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式是 ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项 【注意：二次项系数、一次项系数和常数项都要包含它前面的符号】 3.使方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 4.判断一个方程是否是一元二次方程的依据： （1）整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）含有未知数的项的最高次数是2【二次项系数不能为0】 【注意：有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程】 【基础练习】 1. 在下列方程中，属于一元二次方程的是________. 2. 3. 4. 5. （ ） 【答案解析】 1. （1） 2. a≠1 3. 4. m= -√2 5. D 21.2解一元二次方程 【知识点】 1.解一元二次方程的一般方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法（首先考虑开平方法和因式分解法，再考虑公式法，最后考虑配方法） 2.解方程的指导思想是： （1）降次（2）消元，使高次的转化为一次方程，多元的转化为一元方程 21.2.1配方法 【知识点】 1.直接开平方法：如果方程能化成x2= p或（mx+n）2= p（p≥0，m≠0）的形式，那么可得x= ±√p，或mx+n = ±√p （强调p为非负数） （1） 当p>0，方程有2个不相等的实数根 （2） 当p=0，方程有2个相等的实数根，即x=0或mx+n=0 2.将一元二次方程配成( x+m)2= n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 3.应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的要点是： （1）化二次项系数为1 （2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项 （3）方程两边各加上一次项系数一半的平方 （4）把左边化为完全平方式，右边化为常数 （5）如果右边是非负数，可以进一步通过开平方来求出方程的解；如果右边是负数，则判定此方程无实数根 【基础练习】 1. （2021四川南充一模）方程 (9x-1)2=1的解是 （ ） A.x1=x2= B.x1=x2= C.x1=0，x2= D.x1=0，x2= - 2. （2021山西太原一模）用配方法解方程x2-10x-1=0时，变形正确的是 （ ） A.(x-5)2=24 B.(x-5)2=26 C.(x+5)2=24 D.(x-5)2=26 3. （2021海南）用配方法解方程x2-6x+5=0，配方后所得的方程是 （ ） A.(x+3)2 = -4 B.(x-3)2 = -4 C.(x+3)2 = 4 D.(x-3)2 = 4 4. （2019内蒙古）用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根. 5. （2021甘肃兰州模拟）用配方法解方程：x2+27=12x 【答案解析】 1. 答案：C 2. 答案：B 3. 答案：D 4. 答案： 5. 答案：x1=9，x2=3 21.2.2公式法 【知识点】 1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 这个公式说明方程的根是由方程的系数a，b，c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a，b，c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法 注意： （1）公式法前提：①a≠0 ②△≥0 （2）代入a，b，c时要注意符号 （3）明确哪个字母是未知数，区分未知数和未知的常数 （4）当△<0时，直接判定此方程无实数根，这种判定也是解方程 2.根的判别式△=b2 - 4ac 与一元二次方程根的关系 （1）当△>0时，方程有两个不等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△<0时，方程无实数根. 上述结论反过来也成立。 注意： ①使用判别式解题的前提是二次项的系数a≠0，即根的判别式是专对一元二次方程而言的 ②在判别一元二次方程根的情况时，可结合观察法进行： a. 若方程左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根； b. 若方程中a与c异号，则方程有两个不相等的实数根，只有当方程中a与c同号时，必须计算判别式的