6.2.1向量基本定理-同步练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6.2.1　向量基本定理 一、必备知识基础练 1.已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以组成基底的是(　　) A.a=0,b=e1+e2 B.a=3e1+3e2,b=e1+e2 C.a=e1-2e2,b=e1+e2 D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2 2.在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 3.(多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,则(　　) A.=- B. C.=- D. 4.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若=m+n,则=　　　　. 5.如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点.若=m,则实数m的值为　　　. 6.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1=　　　　　,λ2=　　　　　. 7.已知在△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设=a,=b. (1)用a,b表示向量; (2)若向量+k共线,求实数k的值. 二、关键能力提升练 8.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=(　　) A.2 B.-2 C.±2 D.8 9.[2023广东韶关高一]在△ABC中,,P是BN上一点,若=t,则实数t的值为(　　) A. B. C. D. 10.(多选题)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. 11.如图,A,B,C,D为平面内的四个点,,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　. 12.[2023湖北襄阳高一]如图所示,在△ABC中,F为BC边上一点,2=a,=b. (1)用向量a,b表示; (2)若3,连接DF并延长,交AC于点E,=λ,=μ,求λ和μ的值. 13.如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC. 参考答案 一、必备知识基础练 1.C　对于A,零向量与任意向量均共线,所以此两个向量不可以组成基底;对于B,因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以此两个向量不可以组成基底;对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),则无解,所以此两个向量不共线,可以组成一组基底;对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b,所以此两个向量不可以组成基底.故选C. 2.B　因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即=2(), 所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B. 3.ABC　∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC, ∴=-=-,A正确; ∵=3,∴=-, ∴,又F为AE的中点,∴,B正确; =-=-,C正确; =-=-,D错误. 4.)=. ∵=m+n,∴m=,n=,∴. 5.　设=λ(λ∈R),∵,∴, ∴+λ+λ()=(1-λ). ∵=m,∴解得 6.-　由题意知,D为AB的中点,, ∴),∴, ∴=-,∴λ1=-,λ2=. 7.解(1)∵A为BC的中点,∴), ∴=2=2a-b, ∴=2a-b. (2)由(1)得+k=(2k+1)a-kb. ∵+k共线,设=λ(+k),λ∈R, 即2a-b=λ(2k+1)a+b, 根据平面向量基本定理,得 解得k=. 二、关键能力提升练 8.C　∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量,∴解得k=±2.故选C. 9.D　,又因为, 所以,即, 所以=t=t. 因为P,B,N三点共线,所以t+=1, 解得t=. 故选D. 10.ABD　,故A正确; )+,故B正确; =-,故C错误; =-,故D正确. 故选ABD. 11.　因为,即,所以2. 又E为线段BC的中点,所以)=,所以λ=,μ=,则λ+μ=. 12.解(1)因为2, 所以2()=,即3=2, 所以a+b. (2)若=λ,=μ,则=μ=λ, 所以=λ(), =(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb. 由于a+b, 所以4(1-λ)=,λμ=,解得λ=,μ=. 13.证明设=a,=b,=r,=t,则=a+b.因为共线,所以存在实数n,使得r=n(a+b). 因为共线,所以存在实数m,使得=m. 而=a-b,则=m. 因为, 所以n(a+b)=b+m, 即(n-m)a+b=0. 因为向量a,b不共线,于是有 解