2023-2024学年中职数学拓展模块一3.2.1双曲线及其标准方程

3.2.1双曲线及其标准方程 1、我们知道 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|) 的点的轨迹是 平面内与两定点F1、F2的距离的 2、思考： 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？ 平面内与两定点F1、F2的距离的 椭圆 引入 ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a 上面 两条曲线合起来叫做双曲线 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） F ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. （2a< |F1F2|） o F 2 F 1 M 平面内与两个定点F1 、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 一、双曲线定义 | |MF1| - |MF2| | = 2a x y o 　　　设P（x , y）, 焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 距离差=2a F1 F2 P 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 　　　以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点为原点建立直角 坐标系 1. 建系. 2.设点． 3.列式． |PF1 - PF2|= 2a 二、双曲线的标准方程 整理得： 4.化简. 令 则 两边同时除以 得 此方程叫做焦点在x轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是 并且 b²=c²- a²（b＞0） F1 F2 y x o y2 a2 - x2 b2 = 1 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么 想一想 F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y 双曲线的标准方程: 焦点在x轴上 焦点在y轴上 方程的左边是两项平方差的形式，等号的右边是1； 在双曲线两种标准方程中，总有a>0，b＞0，但a、b不作比较； b²=c²-a² 问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ F ( ±c, 0) F(0, ± c) x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。 F ( ±c, 0) F(0, ± c) 焦点在x轴上 焦点在y轴上 练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置） F(±5,0) F(0,±5) F ( ±c, 0) F(0, ± c) c²=a²＋b² 课堂练习 1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上. 2）a= ，c=4 ，焦点在坐标轴上. 解：双曲线的标准方程为 例1 根据条件,求双曲线的标准方程. （2）焦点为F11(0,-6)、F22(0,6),双曲线上的一点M的坐标为(2,-5). 例2　求下列双曲线的焦点坐标和焦距． （1） （2） 　 注意：①需判断双曲线的焦点位置． ②该项的分母为a2 ． 思考：如果方程 表示双曲线，求m的范围 解 ∵（m-1)(2-m)<0， ∴m>2或m<1 x2 y2 m-1 + 2-m = 1 情境导入 练习 练习 思考： 定义 图象 方程 焦点 a.b.c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c) 小结 Lavf58.20.100 $$