1.2 国外古典数学 课件-2023-2024学年中职数学湘科版拓展模块2

第一章 数学文化 1.2 国外古典数学 国外古典数学 1.2 众所周知，人类对数的认识经历了一个漫长的不断深化的过程，在这个过程中数的概念得以扩充与发展，以至到现在形成完整的数系．无理数的发现在数学上具有重要意义，在西方数学史上曾导致了一场大风波，史称“第一次数学危机”．早在公元前6世纪，古希腊数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派，其创始人是毕达哥拉斯．西方文献一般将勾股定理称作毕达哥拉斯定理，因为他们认为这是毕达哥拉斯发现并证明的．至于如何发现，又如何证明，众说纷纭．流传较广的一种说法是，毕达哥拉斯在观察地砖时，基于等腰直角三角形这一特殊图形受到启发，并推广到一般的直角三角形． 一、毕达哥拉斯与无理数 国外古典数学 1.2 毕达哥拉斯学派坚信万物皆数．这里所说的数仅指正整数，分数被看作两个整数的比．他们认为数1生成所有的数，每个数都被赋予了特定的属性，譬如将10看作完美、和谐的标志．毕达哥拉斯学派对整数进行了深入研究，尤其注意形与数的关系，并研究了大量的“多边形数”．其中较简单的一种是三角形数．从上至下，第1个三角形数是，第2个三角形数是，第3个三角形数是，，第个三角形数是 国外古典数学 1.2 毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可通约的，存在着不可通约的线段．例如，边长为1的正方形的对角线与边长，这两条线段就不是可通约的．也就是说这两条线段长度的比既不是整数也不是分数，现在我们知道这个数是，它是一个无限不循环小数．这是人类历史上发现的第一个无理数，它的发现是数学史上的重要里程碑，然而毕达哥拉斯学派对这个发现却没有任何欢欣鼓舞，他们陷入了极度的焦躁不安和郁郁寡欢中．困扰他们的有以下两个方面的原因： 首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击； 其次，因为毕达哥拉斯学派关于比例的定义假定任何两个同类量是可通约的，所以该学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样他们关于相似形的一般理论研究也失败了． 国外古典数学 1.2 “逻辑上的矛盾”如此之大，以至于有一段时间，他们费了好大劲将此事在学派内部保密，不准外传．由于毕达哥拉斯学派有严密的教规，将一切发现归功于领袖，并禁止公开学派的秘密，因此很难将毕达哥拉斯本人的工作和其他成员的贡献区分开来，有关无理数的发现情形也是如此． 一个传说是学派成员希帕索斯首先发现了不可通约的量，当时毕达哥拉斯学派正在海上泛舟集会，希帕索斯说出他的发现后，惊恐不己的其他成员将他抛进了大海． 国外古典数学 1.2 另一种说法是希帕索斯由于泄露了无理数的秘密而遭此厄运．然而真理毕竟是不可战胜的，这个无理数在社会上渐渐流传开来．后来，据柏拉图所说，昔兰尼的特奥多鲁斯（大约公元前425年），证明了也是无理数，其时“无理数”并非“无理”，而为“不可通约”之意．“无理”二字，在数学史上标志着毕达哥拉斯学派为维护“神权”，惧怕存在着不可通约的数的真理而迫害数学人才的无理． 国外古典数学 1.2 其实，这一悖论的提出不但对毕氏学有致命影响，对当时所有人的观念都有极大的冲击．当时，人们根据直觉完全相信：任何量都可被表示为某个有理数，在几何学上也是一样，直到二百年后，数学家欧多克斯建立了一套完整的比例论，这样才用几何方法把由于无理数引起的数学危机解决了． 从这一历史事件中我们可以认识到直觉经验并非绝对可靠，真理是不可抗拒的．另外，勇于提出问题往往会成为数学发展中的强大动力，能使数学在解决问题中向前发展． 国外古典数学 1.2 数学为许多人所喜爱，不仅因为它重要，还因为它推理周密、判断准确、结构和谐，能对人进行严格的逻辑思维训练和智能培养，而习得这种演绎推理的思维和方法甚至比学到数学知识更重要．古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，被称为“几何学之父”的欧几里得整理编写的《几何原本》，集当时几何知识之大成并加以系统化，构成一个标准化的演绎体系，是用公理法建立起演绎体系的最早典范，把几何学提高到一个新水平，对数学的发展产生了深远的影响． 二、欧几里得与演绎推理 国外古典数学 1.2 虽然《几何原本》中大部分结论是先前数学家的研究成果，非欧几里得原创，但原有的这些数学知识很零碎，就像木石砖瓦散落一地，甚是可惜，若有萨人用它建成房子，这些材料就能发挥更大的作用．《几何原本》的意义就在于此．欧几里得借助于逻辑方法，把原有的这些数学知识组织起来，加以分类、比较，揭示彼此间的内在联系，建立了一个严密的数学系统．这样的构造，让人们更容易去学习、理解和运用这些数学知识． 欧几里得本人的手稿早已失传，现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的．据不完全统计，直至19世纪末，《几何原本》的印刷本用各种文字出了1000多个版本．目前最流行的是希思的英译本《欧几里得原本13卷》（The th