4.2 简单的线性规划问题 课件-2023-2024学年中职数学湘科版拓展模块2

第四章 规划与评估 4.2 简单的线性规划问题 简单的线性规划问题 4.2 在现实生活、生产经营活动中，我们经常会碰到资源调配、人员安排、货源组织等问题． 想一想 例如，小华同学在某5G电子器材组装车间实习，需用甲、乙两种零部件装配两种型号的电路模块．已知每装配一个型模块需要甲种零部件2个，耗时；每装配一个型模块需要乙种零部件4个，耗时.车间每天最多只给他提供甲种零部件8个，乙种零部件12个．如果小华每天在车间工作不超过，他所有可能的装配方案有哪些？ 简单的线性规划问题 4.2 这是一个二元一次不等式组，我们将它表示的平面区域画出来，如图4.2-1所示． 根据的实际意义，可知图4.2-1中阴影部分内的整点（横、纵坐标都为整数的点）就代表小华一天所有可能的装配方案． 设A，B 型模块分别装配了个，个， 在不考虑的实际意义的情况下，我们可以由已知条件列出应满足的条件： 探索 如果装配一个型模块能获得2个实习学分，装配一个型模块能获得3个实习学分，那么，小华装配型模块各多少个才能使获得的学分最多呢？ 设型模块分别装配个，个时，小华获得的实习学分为，那么. 于是，我们得到这样一个数学问题： 当满足不等式组（1）时，求的最大值，其中为非负整数． 由可得 简单的线性规划问题 4.2 这是一条斜率为，在轴上的截距为的直线，当变化时，可以得到一组平行线，如图4.2-2所示． 要使得最大，使最大即可因此，问题转化为在不等式组（1）表示的平面区域内找到一点，使得直线过点时，截距最大 由图4.2-2可以看出，当直线经过点时，截距最大，最大值为，此时，即小华装配4个型模块，1个型模块可以获得最多的实习学分，且最多实习学分为11分． 简单的线性规划问题 4.2 在上述问题中，不等式组（1）是一组对变量的约束条件，这些条件往往都是关于的一次不等式（有时也可能是一次方程），我们称之为线性约束条件，需要求最大值的函数也是关于的一次式，我们称之为线性目标函数． 一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域，其中，能使目标函数取得最大值或者最小值的可行解叫作问题的最优解． 在上述问题中，就是最优解． 抽象 简单的线性规划问题 4.2 某加工车间利用两种不同规格的钢板裁剪加工成三种不同规格的小型板材，每种原材料钢板一张所能裁剪加工的小型板材数量如下表所示： 例 1 乙种钢板 3 2 型号 A型板材 B型板材 C型板材 甲种钢板 5 4 2 现在需要三种型号的板材分别是8块，18块，34块，如何安排裁剪加工才能使得耗用的原材料钢板张数最少？ 简单的线性规划问题 4.2 解 设需要甲种钢板张，乙种钢板张，共需原材料钢板张数为，则目标函数为. 根据题意，约束条件如下： 作出该不等式组表示的平面区域，如图4.2-3所示. 简单的线性规划问题 4.2 将目标函数变形为，得到斜率为，截距为的平行直线． 由图4.2-3可以看出，当直线经过点时，截距最小． 由于点是直线与的交点， 所以由方程组 可解得点的坐标为，恰为整点． 所以. 若点不是整点，怎么办? 简单的线性规划问题 4.2 做一做 在本节开始的问题中，如果装自己一个A型模块能获得1个实习学分，装自己一个B型模块能获得3个实习学分，那么，小华采用哪种装配方案获得的学分最多呢？再换几组数据试试．由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？ 答：用甲种钢板6张，乙种钢板1张裁剪加工，可以确保三种型号的板材需求，并使得耗用的原材料钢板数量最少． 简单的线性规划问题 4.2 探索 除了用画可行域的方法图解线性规划问题外，我们还可以借助Excel的“规划求解”模块帮助我们求得最优解． 以上面的例题为例，用Excel求解的主要操作步骤如下： 第一步，单击“文件”“选项”“加载项”，在“管理”框中，单击“Excel加载项”“转到”，在“可用加载项”框中，勾选“规划求解加载项”，单击“确定”，如图4.2-4所示； 简单的线性规划问题 4.2 第二步，把例题约束条件中的五个不等式的系数分别录入B2：D6的对应区域（如图4.2-5所示）； 第二步，在E2单元格中输入公式“=B2*$B$7+C2*$C$7”，并向下自动填充至E6，在E7单元格中输入目标函数公式“=B7+C7”； 简单的线性规划问题 4.2 第三步，单击数据菜单中的“规划求解”，在弹出的对话框中设置好目标单元格、可变单元格，添加约束条件（如图4.2-6所示）； 第四步，点击“求解”得到图4.2-5所示的最优解，即时，取最小值7. 简单的线性规划问题 4.2 $$