2.5 等比数列模型 & 2.6 指数函数模型课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第二章 数学建模 2.5 等比数列模型 等比数列模型 2.5 在现实生活中，存在一类离散现象，需要用到等比数列模型来刻画和研究.如下面的案例： 假设某地2020年的GDP为5000亿元，预计将以年增长率6％的速度持续增长. 想一想 年份 GDP/亿元 2020年 5000 2021年 2022年 2023年 将上表右栏的数字排成一列 5000，5300，5618，5955.08，…. 你能说出这个数列相邻两项之间有什么特点吗？ 等比数列模型 2.5 探索 我们知道，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列． 通过分析可知，该地区的GDP是一个首项，公比的等比数列模型． 它的通项公式为： 据此，我们可预测该地2029年的GDP为 等比数列模型 2.5 1 某中职学校的服装产学研中心2019年生产了10000套校服．若计划在未来5年，每年增产率均为，求5年期满的总产量（精确到1套）．分析这是一个首项，公比的等比数列模型．求5年期满的总产量实际上就是求这个数列的前六项和． 例 根据题意可知，这个数列是首项，公比的等比数列，从而利用计算器可得 答：5年期满的总产量约为77156套． 解 建立等比数列 模型的具体步骤是什么？ 等比数列模型 2.5 2 用10000元购买某个理财产品． （1）若以月利率0.400％的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)? 例 分析 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本息和构成等比数列． 等比数列模型 2.5 （1）设这笔钱存个月以后的本息和组成一个数列， 则是等比数列， 且首项公比 所以 所以，12个月后的利息为（元）． （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本息和组成一个数列,则也是一个等比数列，首项，公比为，于是 解 等比数列模型 2.5 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 解不等式，得 所以，当季度利率不小于1.206％时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 等比数列模型 2.5 2.6 指数函数模型 小李今年花.25万元购买了一辆轿车，己知汽车前5年的年折损率为10％，5年后的年折损率为6％，如果设年后汽车的价值为元，那么 （1）前5年汽车的价值为： （2）5年后汽车的价值为： 形如的函数叫作指数型函数，其中为常数，且. 指数函数模型 2.6 回顾 探索 通过以前的学习，我们知道指数函数中，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增．那么指数型函数的单调性是怎样的呢？下面我们一起来探究． 指数函数模型 2.6 作出指数型函数和的图像，分别如图2.6-1,图2.6-2所示. 指数函数模型 2.6 通过观察图像，可知指数型函数的性质： 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增． 某商用无人机公司从某年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台．由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好．为了方便营销人员在 例 推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.公司分析，产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化，并且公司也暂时不准备增加设备和工人．假如你是公司管理者，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？ 指数函数模型 2.6 如图2.6-3，在直角坐标系（为方便观察，取轴的单位长度较大）中依次描出体现基本数据的四个点： （方法一）设模拟函数为，将两点的坐标代入，有 解得 所以得 该函数的图像如图2.6-3所示. 解 评价 此法的结论是，在不增加设备和工人的条件下，产量会每月上升1000台，这是不太可能的． 指数函数模型 2.6 （方法二）设模拟函数为，将三点的坐标代入，有 解得 所以得 该函数的图像如图2.6-4所示． 评价 由此法计算出4月份的产量为1.3万台，比实际产量少700台，而且，由二次函数的性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图像开口向下，对称轴是直线），这显然不符合实际情况． 指数函数模型 2.6 （方法三）设模拟函数为，将三点的坐标代入，得 解得 所以得 . 借助计算机软件可作出该函数的图像如图2.6-5所示． 评价 将代入函数解析式，得，与第4个月的产量比较接近． 指数函数模型 2.6 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际情形，比如增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳：一是误差最小；二是由于是新建生产线，随着工人技术、管理效率逐渐提高，一段时间内产量会