2.3 二次函数模型 & 2.4 等差数列模型课件-2023-2024学年高二上学期湖南科技版中职数学拓展模块一（上册）

第二章 数学建模 2.3 二次函数模型 二次函数模型 2.3 想一想 在脱贫攻坚期间，某地政府为了帮助当地一建档立卡贫困户脱贫，通过政府贴息贷款方式帮他建了一个果园．该果园有200棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种植一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那每棵树所接受的阳光就会减少，根据专家调查研究，每多种一棵树，平均每棵树就会少结2个橙子．如果设果园增种棵橙子树，橙子总产量为个，那么我们得到 （*） （*）式是不是二次函数的解析式？如何求总产量的最大值？ 二次函数模型 2.3 探索 我们知道，一般地，形如的函数叫作二次函数，并且它的图像是抛物线，它的顶点坐标是，对称轴是直线 二次函数模型 2.3 （1）当时，抛物线的开口向上，有最小值；在区间上是减函数，在区间上是增函数. （2）当时，抛物线的开口向下，有最大值；在区间上是增函数，在区间上是减函数. 所以，当时，（*）式中取最大值 因此，该贫困户增种50棵橙子树时，总产量最高，最高产量是125000个橙子． 二次函数模型 2.3 1 某木工师傅准备设计一个如图2.3-1所示的“田”字型框架，其采用的木材每米20元．若只能花费240元来采购木材，则当横条和竖条长度分别为何值时，框架的面积最大？并求出最大面积． 例 二次函数模型 2.3 分析 首先需要表示出“田”字型框架的长和宽．因“田”字型框架的总价是定值，所以设长为，可以用含的代数式表示宽；再用解析法表示框架的面积与的函数关系；然后利用函数的性质来解决问题． 设“田”字型框架的长为，则横条的总价为，那么竖条的总价为元，所以“田”字型框架的宽为. 设“田”字型框架的面积为, 于是 为符合实际意义，必须满足，且. 所以与的函数关系是. 当时，取最大值，且最大值为4. 答：当横条长为、竖条长为时，框架的面积最大，最大面积为. 解 说一说 在实际生活中，怎样建立相应的二次函数模型，并运用二次函数的图像和性质求最佳？ 二次函数模型 2.3 2 某超市对进货价为8元／kg的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量与销售价存在一次函数关系，如图2.3-2所示. （1）求与之间的函数关系式． （2）当销售价定为多少时，该品种苹果每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 例 二次函数模型 2.3 分析 通过观察图像找到点和点，然后利用待定系数法求出与间的函数关系式；设该品种苹果每天的销售利润为元，然后用解析法表示与的二次函数关系，再利用函数的性质来解决问题． （1）设，根据题意得直线过点和， 所以 解得 所以与之间的函数关系式为. （2）设该品种苹果每天的销售利润为元，根据题意得 整理得. 所以，当时，的值最大，最大值为. 答：当销售价定为时，该品种苹果每天的销售利润最大，最大利润是元． 解 二次函数模型 2.3 2.4 等差数列模型 等差数列模型 2.4 在现实生活中，存在着一类离散现象，需要用到等差数列模型来刻画和研究． 例如，2021年7月1日前夕，某地为了庆祝建党100周年，营造喜庆氛围，在城市主干道两侧，距起点相同距离的位置每隔插一面红旗，由近及远排成一列． 记起点为0，那么主干道一侧插红旗的位置（离起点的距离）为： 你能说出这个数列相邻两项之间有什么特点吗？ 想一想 探索 我们知道，若一个数列从第2项起，每一项与它前一项之差都等于同一个常数，则这个数列就是等差数列． 因此，是一个首项为0，公差为8的等差数列． 进一步，上述城市主干道一侧所插红旗的位置到起点的距离，就是一个首项，公差的等差数列模型． 它的通项公式为： 假设主干道长，则 解得. 所以，该主干道一侧需要插301面红旗，两侧插满则需要红旗. 等差数列模型 2.4 1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的，设备将报废．请确定的取值范围． 例 分析 这台设备使用年后的价值构成一个数列.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（万元）；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解． 等差数列模型 2.4 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列. 由已知条件，得 由于是与元关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以，于是 根据题意，得 即 解这个不等式组，得 所以，的取值范围为 解 等差数列模型 2.4 2 北京天坛的圄丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石）．环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块