2.1 数学建模 & 2.2 分段函数模型 课件-2023-2024学年中职数学湘科版拓展模块2

第二章 数学建模 2.1 数学建模 数学建模 2.1 16世纪，意大利物理学家伽利略通过对自由落体运动的研究，得出自由落体运动的路程模型．自由落体运动方程是自然科学史上一项伟大的成果，该运动方程的得到是数学建模方法的经典之作． 下面，我们以自由落体运动方程为例，说明数学建模的过程． 位于高处的物体，如果失去支撑就会下落，这是每个人都知道的自然现象．春秋战国时期的墨子以及古希腊哲人亚里士多德就对该现象产生的原因进行过论述，不过古代的人们并不清楚这种现象是力作用的结果，因而普遍认为，导致物体下落的原因是物体的质量． 一、问题描述 数学建模 2.1 伽利略通过反复观察发现：物体下落的速度随下落的时间而均匀增加，且速度与时间成正比例关系，即．他注意到，在有介质的空间，物体下落速度必然与物体的形状以及物体的质量有关．因此，他在理想条件下构建物体下落的模型，假定在物体下落的过程中空气阻力可以忽略不计.在此假设的前提下，物体下落的速度与物体的形状以及物体的质量无关． 二、模型假设 数学建模 2.1 不受任何阻力，只在重力作用下从静止开始降落的物体为自由落体． 基于上述假设，如果物体自由下落的时间相同，物体自由下落的高度只与运动时间以及加速度有关，此时，是关于与的函数 三、模型建立 数学建模 2.1 根据伽利略关于速度与时间成正比例关系，即的假设，若物体下落时的速度为，则下落时的速度为，，下落时的速度为.伽利略当年利用物体下落路程的平均速度乘以时间（根据路程=速度×时间），得到自由落体运动的路程模型为 四、模型求解 伽利略做了一系列的实验来检验模型的正确性，他的实验是在斜面上进行的．伽利略通过大量的实验验证了这样一个事实：在同样的高度，同样的重物分别沿垂面和斜面从零开始下落，下落的时间之比等于垂直长度和斜面长度之比．这个事实说明：可以利用 五、模型分析与检验 数学建模 2.1 斜面进行自由落体的实验．于是伽利略用一块足够长的木板，在中间凿出一条光滑沟槽，让光滑的黄铜球沿着沟槽滚下，如图2.1-1. 他实验了不同的倾斜角度，又实验了不同长度的木板，先后一百多次的实验结果均显示，黄铜球下落的距离与下落时间的平方之比近似为一个正常数，进而验证了模型的正确性. 伽利略用斜面实验验证了模型的正确性后，将斜面实验的结果推广到与水平面垂直的情况：随着斜面倾斜角度逐渐增加到小球的加速度不断变大，小球逐步过渡到自由落体运动，如图2.1-2.至此，他成功地验证了原先的猜想，得到了自由落体运动的规律. 六、推广应用 数学建模 2.1 根据自由落体运动方程的建立过程，我们可以用图2.1-3所示的框图来表示数学建模的基本过程． 数学建模 2.1 数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际，又能够利用现有方法求解的合理数学模型就成为解决实际问题的关键步骤之一．需要说明的是，数学模型与我们通常所说的数学问题是不同的，一般的数学问题要求叙述严谨、明确、答案唯一，而根据实际问题建立的数学模型及由此得到的答案通常不具有唯一性，判断数学模型的优劣以是否符合实际为标准． 2.2 分段函数模型 想一想 为了建设资源节约型社会，引导广大市民树立节能减排意识，某地实行阶梯电价．具体收费标准如下表所示： 分段函数模型 2.2 类别 电价标准/[元/（kW·h）] 电价标准/[元/（kW·h）] 一档 1~240（含240） 0.49 二档 240~400（含400） 0.54 三档 400以上 0.78 如果某用户7月份的用电量为，该月所缴的电费为元，那么 当 当 当 所以，该用户7月份所缴的电费与用电量间的函数关系式为 （*）式与我们常见的函数解析式有什么不同？ 分段函数模型 2.2 （*） 探索 我们知道，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数就是分段函数．上面的例子就是一个分段函数． 由（*）式可知，该用户的用电量所在范围不同，其所缴电费计算方式完全不同．现已知该用户7月所缴的电费为177元，如何推算其用电量呢？ 由（*）式可知，当7月用电量在一档时，该月电费最多缴117.6元；当7月用电量在二档时，该月电费最多缴204元． 由于用户7月所缴的电费为177元，比较可知，所以该用户用电量在二档，于是，解得，所以该用户7月用电量为. 分段函数模型 2.2 1 某地出租车收费标准为起步价8元（不超过3km），超过的部分1.7元／km，超过10km要加收的返程费．某同学计划乘出租车从家到图书馆去借书． （1）求该同学需要支付的出租车车费与家到图书馆的距离间的关系式； （2）若该同学支付了50元，求他家到图书馆的距离（结果精确到1km). 例 分段函数模型 2.2 （1）设该同学需要支付的出租车车费为元，他家到图书馆的距离为.由题意可得 解 分段