5.3.1函数的单调性2课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1函数的单调性（2） 第五章 一元函数的导数及其应用 2023/12/9 5.3 导数在研究函数中的应用 高二数学备课组 1 引 入 1.函数的单调性与导数的关系： 一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增; 在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减. ① 求出函数的定义域； ② 求出函数的导数f (x)； ③ 判定导数f (x)的符号； ④ 确定函数f(x)的单调性. 2.判定函数单调性的步骤： LOGO 2 课堂练习 LOGO 3 例题讲解 解： x y O 1 4 例1 已知导函数f′(x)的下列信息:当1<x<4时，f′(x) > 0；当x<1，或x >4时，f′(x) < 0；当x = 1 ，或x = 4时，f′(x) = 0. 试画出函数f (x)图象的大致形状. 3.导函数与原函数图象间的关系： LOGO 4 例题讲解 D LOGO 5 探究新知 LOGO 6 探究新知 比较“陡峭” 比较“平缓” LOGO 7 课堂练习 解： x y O a b x y O a b 原函数要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减； 导函数其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零， 2. 函数y=f(x)的图象如图所示，试画出函数y=f′(x)图象的大致形状. LOGO 8 课堂练习 3. 函数y=f ′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c LOGO 9 课堂练习 A　　 　　B　　 　　 C　　 　　 D D 5.已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　) D LOGO 10 课堂练习 C　 (－1，2)和(4，＋∞) [由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)． LOGO 11 课堂练习 8. A LOGO 12 课堂练习 D LOGO 13 探究新知 问题1：能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？ 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况. y = x3 LOGO 14 探究新知 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”. 4.函数增减的快慢与导数的关系 LOGO 15 例题讲解 例3 x y O 1 • 解： LOGO 16 探究新知 问题2：如何探究函数的单调性？ 判断函数的单调性 观察函数的图象 函数单调性的定义 利用导数的正负 y=x3－3x y=x3+3x LOGO 17 探究新知 问题3：如何利用导数研究形如 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的函数的单调性？ 原函数 定义域 导函数 求导运算 导函数的正负 原函数的单调性 解不等式 函数单调性与导数的关系 5.用导数研究不含参数的函数单调性： LOGO 18 例题讲解 对于 且 ，有 函数 的定义域为 . 解：（定义法） …… 例4 LOGO 19 探究新知 例4 解：（导数法） x (－∞, －1) －1 (－1, 2) 2 (2, －∞) f′(x) f(x) x y O -1 1 • 2 • LOGO 20 探究新知 5.用导数研究不含参数的函数单调性： 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f '(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势： 不熟悉的、复杂的函数 熟悉的、简单的函数 转化 LOGO 21 课堂练习 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解： x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, －∞) f′(x) f(x) x y O -1 • 1 • LOGO 22