专题10 解直角三角形之实际应用模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题10 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【重要模型】 模型1、背靠背模型 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键. 【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB； 如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。 例1．（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号） 例2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为 米；      例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    例4．（2023年四川省达州市中考数学真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    模型2、母子模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 【重要等量关系】 如图1，BC为公共边，AD+DC=AC； 如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC； 如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC； 如图6，EC- BC= BE； 如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2023年山东省威海市中考数学真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离． 参考数据：，，，，，．    例2．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    例3．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为，再沿着坡面向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为，坡面的坡度，，(假设A、B、C、D、E在同一平面内)． (1)求点B的高度；(2)求“新”字的高度．(长保留一位小数，参考数据) 例4．（2023年辽宁中考数学真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶