4.1.2数列的递推公式和数列的前n项和 课件——2023-2024学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2数列的递推公式与前n项和 第四章 数列 2023/12/9 4.1 数列的概念 高二数学备课组 1 引 入 现实生活、数学史、数学 按照确定的顺序排列的一列数 表格、图象、通项公式 本质：函数 递增数列、递减数列、常数列 LOGO 2 引 入 例1已知则数列的最大项是第几项？ 例2已知则数列的最小项是多少？ n=12或n=13 LOGO 3 引 入 例3在数列中,求证：数列先增后减， 并求的最大项. LOGO 4 探究新知 LOGO 5 探究新知 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式 像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. LOGO 6 探究新知 5.数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律. 如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 注意：(1)不是所有的数列都有递推公式； (3)递推公式表示an与它的前一项an－1(或前n项)之间的关系， 通项公式表示an与n之间的关系． (2)当用递推公式给出一个数列时，必须给出：①数列{an}的第1项(或前几项） ②递推关系 LOGO 7 例5 已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 写出这个数列的前5项. 例题讲解 LOGO 8 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　) (2)有些数列可能不存在最大项．(　　) (3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　) (4)所有的数列都有递推公式．(　　) 2.数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　) A．－3 B．－11 C．－5 D．19 D 课堂练习 LOGO 9 例题讲解 LOGO 10 探究新知 6.数列的前n项和： 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和， 记作Sn，即 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1， 问题1 数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？ 于是我们有 Sn =a1+a2+a3+...+an-1+an， an=Sn-Sn-1,n≥2 a1=S1,n=1 LOGO 11 探究新知 问题2 已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n，你能求出{an}的通项公式吗? LOGO 12 例题讲解 1.根据数列的前n项和公式求通项公式 分段求解, 检验结果能否统一形式 LOGO 13 例题讲解 LOGO 14 例题讲解 LOGO 15 总结： 例题讲解 LOGO 16 累加法 2.根据数列的递推公式求通项公式 例题讲解 LOGO 17 累乘法 例题讲解 LOGO 18 例题讲解 LOGO 19 例题讲解 LOGO 20 探究新知 LOGO 21 1.数列的递推公式； 2.数列的前n项和； 3.根据数列的前n项和求通项公式； 4.根据数列递推公式求通项公式； 课堂小结 LOGO 22 布置作业 （1）教材 （2）同步作业 LOGO 23 THANKS 24 解:法一　an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n=, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,a9=a10=10×()9. 法二　根据题意,令(n>1) 即(n>1) 解得9≤n≤10. 又n∈N*,则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×()9.