专题02 垂径定理（知识串讲+8大考点）-2023-2024学年九年级数学下册重难考点一遍过（北师大版）

专题02 垂径定理 考点类型 知识一遍过 （一）垂径定理及其推论 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③圆的两条平行弦所夹的弧相等 （3）常见辅助线做法：①过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度（多为方程勾股）； ②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 考点一遍过 考点1：利用垂径定理——求角度 典例1：（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（　　） A．20° B．2° C．25° D．30° 【变式1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（    ） A．120° B．125° C．130° D．145° 【变式2】（2022秋·九年级单元测试）如图，是的弦，直径于点，下列结论不正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】（2023秋·宁夏石嘴山·九年级校考期末）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（　　） A．20° B．30° C．40° D．60° 考点2：利用垂径定理——求线段 典例2：（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期中）如图，为的直径，弦交于E，，，，那么直径的长为（    ）    A．12.5 B．13 C．25 D．26 【变式1】（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，的半径为是圆外一点，，交于点，则弦的长为（    ）    A．4 B．6 C． D．8 【变式2】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，、都是的弦，，，垂足分别为点M，N．如果，那么等于（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（    ）    A．12 B．15 C．16 D．18 考点3：利用垂径定理——求范围 典例3：（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，已知的直径为26，弦，动点在上，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在半径为5的中，弦，点C是弦的一动点，若长为整数，则满足条件的点C有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·广东佛山·统考三模）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP的长为整数，则符合条件的点P有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点4：利用垂径定理——求面积 典例4：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022秋·贵州遵义·九年级校考期中）如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 考点5：利用垂径定理——网格图 典例5：（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 【变式1】（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，-4），N（0，-10）两点，则圆心P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（