串讲05 三角函数（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高一数学上学期期末考点大串讲（北师大版2021）

串讲05 三角函数（考点串讲） 核心知识总览 01教材梳理 02考点精讲 考点1：　任意角的三角函数的定义及三角函数线 考点2：三角函数的定义及诱导公式 考点3：三角函数的图像和性质 03过关测试 1.任意角和弧度制： (1)与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝ rad，1 rad＝()°. (3)弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S＝lr＝|α|r2. 2.任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角取角α的终边上任意一点P(a，b)(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝. 3.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__sin2α＋cos2α＝1 (2)商数关系：tan α＝ . 4.诱导公式：四组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”. 5.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [-1.1] [-1,1] 奇偶性 奇函数　　　　 偶函数 周期性 最小正周期：_2π　 最小正周期：__2π　 单调性 在 (k∈Z)上单调递增； 在 (k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 最值 在x＝＋2kπ_(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 考点1、　任意角的三角函数的定义及三角函数线 例1 （1）求函数y＝＋ 的定义域． （2）已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值； 【方法总结】掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 变式训练题（1）若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． （2）　已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝ . （3）设f(x)＝. (1)求f(x)的定义域； (2)求f(x)的值域及取最大值时x的值． 考点2：三角函数的定义及诱导公式 例2在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角终边与单位圆交于点，，角的终边落在射线上． （1）求的值； （2）求的值． 【方法总结】1.牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. (1)把条件和结论中的各函数都转化为α的三角函数. (2)对于化简求值证明问题,其基本思路是“一看角、二看函数名称、三看函数式的结构”. 【巩固训练】已知关于的方程的两根为，，，求： （1） （2）的值； （3）方程的两根及此时的值． 例3已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值． 【名师指导】关于sin α,cos α的“齐次式”的求值问题常把分式的分子分母同除以cos α或cos2α转化为正切求值. 【巩固训练】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． 考点3：三角函数的图像和性质 例4若集合M＝，N＝，求M∩N. 【方法总结】数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法. 【巩固训练】已知函数，的值域为，，求，的值． 例5已知方程在，上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是　　． 【方法总结】三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法 【巩固训练】在，内满足的的取值范围是　． 一